Question

在同一平面直角坐標(biāo)系中，已知函數(shù)y=f（x）的圖象與y=e^x的圖象關(guān)于直線y=x對稱，則函數(shù)y=f（x）對解析式為

 

；其應(yīng)的曲線在點(diǎn)（e，f（e））處的切線方程為

 

．

Answer 1

分析：第一空：根據(jù)兩函數(shù)的圖象關(guān)于y=x對稱可知，兩函數(shù)互為反函數(shù)，所以求出已知函數(shù)的反函數(shù)即可得到f（x）的解析式；
第二空：求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，把x等于e代入導(dǎo)函數(shù)求出值即為切線方程的斜率，然后把x等于e代入f（x）中求出切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)和斜率寫出切線方程即可．

解答：解：根據(jù)題意，函數(shù)y=f（x）的圖象與y=e^x的圖象關(guān)于直線y=x對稱，
由y=e^x，
解得x=lny，
所以f（x）=lnx；
f′(x)=

1

x

，所以切線的斜率k=f′（e）=

1

e

，
把x=e代入f（x）中得：f（e）=lne=1，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為（e，1）
則所求的切線方程為：y-1=

1

e

（x-e），化簡得：y=

1

e

x
故答案為：f（x）=lnx；y=

1

e

x

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，掌握兩函數(shù)互為反函數(shù)的條件，會根據(jù)一點(diǎn)和斜率寫出直線的方程，是一道綜合題．