Question

已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率e＝，橢圓C的上、下頂點分別為A₁，A₂，左、右頂點分別為B₁，B₂,左、右焦點分別為F₁，F₂．原點到直線A₂B₂的距離為．

（1）求橢圓C的方程；
（2）過原點且斜率為的直線l，與橢圓交于E，F點，試判斷∠EF₂F是銳角、直角還是鈍角，并寫出理由；
（3）P是橢圓上異于A₁，A₂的任一點,直線PA₁，PA₂，分別交軸于點N，M,若直線OT與過點M，N 的圓G相切，切點為T.證明：線段OT的長為定值,并求出該定值.

Answer 1

（1）＋y²＝1 ；(2) ∠EF₂F是銳角；(3)線段OT的長度為定值2.

試題分析：（1）因為橢圓C的離心率e＝，故設a＝2m，c＝m，則b＝m,直線A₂B₂方程為 bx ay ab＝0,所以＝，解得m＝1,故橢圓方程為＋y²＝1； (2)聯(lián)立橢圓和直線方程解出交點坐標E(，)，F( ， ) ，根據向量數量積為正可判斷∠EF₂F是銳角；(3)由（1）可知A₁(0，1)A₂(0，1),設P(x₀，y₀), 直線PA₁：y 1＝x，令y＝0,得x_N＝ ，直線PA₂：y＋1＝x，令y＝0,得x_M＝，接下來有兩種方法，解法一，設圓G的圓心為( ( )，h),利用圓的方程和勾股定理求解；解法二，OM·ON＝|( )·|＝，利用切割線定理得求解.
試題解析：（1）因為橢圓C的離心率e＝，
故設a＝2m，c＝m，則b＝m．
直線A₂B₂方程為 bx ay ab＝0，
即mx 2my 2m²＝0．
所以＝，解得m＝1．
所以 a＝2，b＝1，橢圓方程為＋y²＝1．                        5分
由得E(，)，F( ， )．            .7分
又F₂(，0)，所以＝( ，)，＝(  ， )，
所以·＝( )×(  )＋×()＝＞0．
所以∠EF₂F是銳角．                                        10分
（3）由（1）可知A₁(0，1) A₂(0， 1),設P(x₀，y₀),
直線PA₁：y 1＝x，令y＝0,得x_N＝ ；
直線PA₂：y＋1＝x，令y＝0,得x_M＝；              12分
解法一:設圓G的圓心為( ( )，h),
則r²＝[ ( ) ]²＋h²＝ (＋)²＋h²．
OG²＝ ( )²＋h²．
OT²＝OG² r²＝ ( )²＋h² (＋)² h²＝．    .14分
而＋y₀²＝1，所以x₀²＝4(1 y₀²)，所以OT²＝4，
所以OT＝2,即線段OT的長度為定值2.                             16分
解法二:OM·ON＝|( )·|＝,
而＋y₀²＝1，所以x₀²＝4(1 y₀²)，所以OM·ON＝4．
由切割線定理得OT²＝OM·ON＝4．
所以OT＝2,即線段OT的長度為定值2.                             16分