Question

13．如圖四邊形PABC中，∠PAC=∠ABC=90°，$PA=AB=2\sqrt{3}，AC=4$，現(xiàn)把△PAC沿AC折起，使PA與平面ABC成60°，設(shè)此時(shí)P在平面ABC上的投影為O點(diǎn)（O與B在AC的同側(cè)），

（1）求證：OB∥平面PAC；
（2）求二面角P-BC-A大小的正切值．

Answer 1

分析 （1）連AO，推導(dǎo)出PO⊥CA，CA⊥AO，OB⊥OA，從而OB∥AC，由此能證明OB∥平面PAC．
（2）過(guò)O作BC的垂線交CB延長(zhǎng)線于G點(diǎn)，連PG，則∠PGO是二面角P-BC-A的平面角，由此能求出二面角P-BC-A的正切值．

解答 （本題滿分15分）
證明：（1）連AO，因?yàn)镻O⊥平面ABC，得PO⊥CA．
又因?yàn)镃A⊥PA，得CA⊥平面PAO，CA⊥AO（3分）
因?yàn)椤螾AO是PA與平面ABC的角，∠PAO=60°．
因?yàn)?PA=2\sqrt{3}$，得$OA=\sqrt{3}$．
在△OAB中，∠OAB=90°-30°=60°，故有OB⊥OA，…（6分）
從而有OB∥AC，得OB∥平面PAC． …（8分）
解：（2）過(guò)O作BC的垂線交CB延長(zhǎng)線于G點(diǎn)，連PG，
則∠PGO是二面角P-BC-A的平面角．
∵四邊形PABC中，∠PAC=∠ABC=90°，$PA=AB=2\sqrt{3}，AC=4$，
∴在Rt△PGO中$PO=3，OG=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，
∴$tan∠PGO=\frac{PO}{OG}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
∴二面角P-BC-A的正切值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．…（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查二面角的正切值求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．