定義函數(shù)fn(x)=(1+x)n-1，x＞-2(n∈N*)，其導(dǎo)函數(shù)為fn′(x)．

(1)求證fn(x)≥nx；

(2)設(shè)，求證0＜x0＜1；

(3)是否存在區(qū)間[a，b)(-∞，0]，使函數(shù)h(x)=f3(x)-f2(x)在區(qū)間[a，b)的值域?yàn)閇ka，kb]?若存在，求出最小的A的值及相應(yīng)的區(qū)間[a，b]．

解：(1)令g(x)=fn(x)-nx=(1+x)n-1-nx

∵g′(x)=n(x+1)n-1=n[(x+1)n-1-1]

當(dāng)-2＜x≤0時，g′(x)≤0；

當(dāng)x＞0時，g′(x)＞0．

∴g(x)在(-2，0]上遞減，在(0，+∞)上遞增

則x=0時，g(x)min=g(0)=0

∴g(x)≥g(x)min=0 

即fn(x)≥nx 

(2)∵

即

∴x0=  易得x0＞0

而x0-1=

由(1)知x＞0時，(1+x)n＞1+nx

故2n+1=(1+1)n+1＞n+2

∴x0＜1  綜上  0＜x0＜1．

(3)∵h(yuǎn)(x)=f3(x)-f2(x)=x(1+x)2

h′(x)=(1+x)2+x·2(1+x)=(1+x)(1+3x)

令h′(x)=0x=-1或-

∴h′(x)在(-2，-1)及(-，+∞)為正，

在∵(-1，-)時為負(fù)值，作圖如圖所示

考查直線y=kx(k＞0)與曲線y=h(x)相交問題假設(shè)存在k滿足題意

∵在[-1，0]上，A(]為極小值點(diǎn)B()

當(dāng)y=kx繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)到B點(diǎn)時

kmin=  此時[a，b]=[，0].

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

假設(shè)實(shí)數(shù)a1，a2，a3，a4是一個等差數(shù)列﹐且滿足0＜a1＜2及a3=4，若定義函數(shù)fn(x)=anx，其中n=1，2，3，4，則下列命題中錯誤的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義函數(shù)fn(x)=(1+x)n-1(x＞-2，n∈N*)其導(dǎo)函數(shù)記為
f
′
n
(x)．
（Ⅰ）求y=fn（x）-nx的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若
f
′
n
(x0)
f
′
n+1
(x0)
=
fn(1)
fn+1(1)
，求證：0＜x0＜1；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)φ（x）=f3（x）-f2（x），數(shù)列{ak}前k項(xiàng)和為Sk，2kSk=φ（k-1）+2kak，其中a1=1．對于給定的正整數(shù)n（n≥2），數(shù)列{bn}滿足ak+1bk+1=（k-n）bk（k=1，2…，n-1），且b1=1，求b1+b2+…+bn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•香洲區(qū)模擬）定義函數(shù)fn(x)=(1+x)n-1，x＞-2，n∈N
（1）求f3（x）的極值點(diǎn)；
（1）求證：fn（x）≥nx；
（2）是否存在區(qū)間[a，0]（a＜0），使函數(shù)h（x）=f3（x）-f2（x）在區(qū)間[a，0]上的值域?yàn)閇k-a，0]？若存在，求出最小的k值及相應(yīng)的區(qū)間[a，0]，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義函數(shù)fn(x)=(1+x)n-1,x＞-2,n∈N*.

(1)求證：fn(x)≥nx.

(2)是否存在區(qū)間［a,0］(a＜0),使函數(shù)n(x)=f3(x)-f2(x)在區(qū)間［a,0］上的值域?yàn)椋踜a,0］?若存在，求出最小的k值及相應(yīng)的區(qū)間［a,0］;若不存在，說明理由.

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