Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD上平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PA=PD=DC=CB=

1

2

AB，E是BP的中點(diǎn)．
（1）求證：EC∥平面PAD；
（2）求BP與平面ABCD所成的角的正弦值；
（3）求二面角P-AB-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）取PA的中點(diǎn)F，連接EF，F(xiàn)D．因?yàn)镋是BP中點(diǎn)，所以EF∥AB，且EF=

1

2

AB，又由已知，四邊形EFDC為平行四邊形，所以EC∥FD?平面PAD，F(xiàn)D?平面PAD，所以EC∥平面PAD．
（2）設(shè)AB=2a，由已知，BD=

2

a，∠ABD=45°，由余弦定理得AD=

2

a，所以∠ADB=90°．以D為原點(diǎn)，建立如圖所示坐標(biāo)系，利用

PB

與平面ABCD的一個(gè)法向量的夾角求出BP與平面ABCD所成的角的正弦值
（3）求出平面PAB的一個(gè)法向量為

n

=（x，y，z），利用面PAB與面ABD法向量夾角求出二面角P-AB-D的余弦值

3

3

．

解答：證明：（1）取PA的中點(diǎn)F，連接EF，F(xiàn)D．因?yàn)镋是BP中點(diǎn)，所以EF∥AB，且EF=

1

2

AB，

又由已知，四邊形EFDC為平行四邊形，所以EC∥FD?平面PAD，F(xiàn)D?平面PAD，所以EC∥平面PAD．
（2）設(shè)AB=2a，由已知，BD=

2

a，∠ABD=45°，
由余弦定理得AD=

2

a，所以∠ADB=90°．
以D為原點(diǎn)，建立如圖所示坐標(biāo)系，則B（0，

2

a，0），P（

2 a

2

，0，

2 a

2

），
所以

PB

=（-

2 a

2

，

2

a-

2 a

2

）

平面ABCD的一個(gè)法向量為m=（0，0，1）．
所以cos＜

PB，

m＞=

PB• m

|PB|×| m|

=

- 2 a 2

3 a

=-

6

6

，
BP與平面ABCD所成的角的正弦值為

6

6

．
（3）易知A（

2

，0，0），則

AB

=（-

2

a，

2

a，0），平面PAB的一個(gè)法向量為

n

=（x，y，z），
由

n • AB =0 n • PB =0

得

- 2 a+ 2 ay=0 - 2 a+ 2 ay- 2 2 az=0

取x=1，則

n

=（1，1，1）．
所以cos＜

m

，

n

＞=

1

3

=

3

3

所以二面角P-AB-D的余弦值為

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間直線與平面位置關(guān)系的判斷，空間角求解，考查空間想象能力、推理論證、計(jì)算、轉(zhuǎn)化能力