Question

1．已知圓C；x²+y²+6x-2y+k=0，直線l：2x-y+2=0．
（1）求實數(shù)k的取值范圍；
（2）若圓C與直線l交于A，B兩點，且|AB|=2，求圓C的標準方程．

Answer 1

分析 （1）化圓的一般式為標準式，然后由10-k＞0求得k的取值范圍；
（2）利用已知條件結(jié)合垂徑定理求得k，則圓的標準方程可求．

解答 解：（1）由圓C：x²+y²+6x-2y+k=0，得（x+3）²+（y-1）²=10-k，
由10-k＞0，得k＜10．
∴實數(shù)k的取值范圍為（-∞，10）；
（2）圓C；x²+y²+6x-2y+k=0的圓心C（-3，1），C到直線l：2x-y+2=0的距離d=$\frac{|-6-1+2|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$．
圓的半徑r=$\sqrt{10-k}$，|AB|=2，
由垂徑定理可得：$（\frac{|AB|}{2}）^{2}+iowhpww^{2}={r}^{2}$，即${1}^{2}+（\sqrt{5}）^{2}=10-k$，得k=4．
∴圓的標準方程為（x+3）²+（y-1）²=6．

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查了點到直線距離公式及垂徑定理的應(yīng)用，是中檔題．