Question

已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，離心率為，分別為其左右焦點(diǎn)．一動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)，且與直線相切．

（1）(ⅰ)求橢圓的方程；（ⅱ)求動(dòng)圓圓心軌跡的方程；

（2）在曲線上有四個(gè)不同的點(diǎn)，滿(mǎn)足與共線，與共線，且，求四邊形面積的最小值．

 

Answer 1

（1）(ⅰ）；（ⅱ） ；（2）. 四邊形面積的最小值為.

【解析】

試題分析：（1）(ⅰ)由題意，,再結(jié)合解出的值從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(ⅱ)由條件“動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)，且與直線相切”知?jiǎng)訄A圓心到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離，且定點(diǎn)不在定直線上，所以動(dòng)圓圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線；

（2）由題設(shè)知直線和直線互相垂直相交于點(diǎn)，且分別與物拋線有兩個(gè)交點(diǎn)，因此兩直線的斜率均存在且不為零，所以解決問(wèn)題的基本思路是以其中一條直線的斜率為自變量，利用直線與拋物線相交的位置關(guān)系，將四邊形的面積表示成直線斜率的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.

試題解析：（1）(ⅰ)由已知可得

則所求橢圓方程 3分

(ⅱ)由已知可得動(dòng)圓圓心的軌跡為拋物線，且拋物線 的焦點(diǎn)為 ，準(zhǔn)線方程為 ，則動(dòng)圓圓心軌跡方程為 6分

（2）由題設(shè)知直線 的斜率均存在且不為零

設(shè)直線的斜率為, 則直線的方程為：

聯(lián)立

消去 可得 8分

由拋物線這義可知：

10分

同理可得 11分

又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào))

所以四邊形面積的最小值為. 14分

考點(diǎn)：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程；3、直線與拋物線的位置關(guān)系綜合.