如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=2，由頂點(diǎn)B沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱AA1到頂點(diǎn)C1的最短路線與AA1的交點(diǎn)記為M，
求：（Ⅰ）三棱柱的側(cè)面展開圖的對(duì)角線長；
（Ⅱ）該最短路線的長及的值；
（Ⅲ）平面C1MB與平面ABC所成二面角（銳角）的大小。
解：（Ⅰ）正三棱柱的側(cè)面展開圖是長為6，
寬為2的矩形，
其對(duì)角線長為；
（Ⅱ）如圖，將側(cè)面繞棱AA1
旋轉(zhuǎn)120°使其與側(cè)面在同一平面上，
點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的位置，
連接DC1交AA1于M，
則DC1就是由頂點(diǎn)B沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱AA1到頂點(diǎn)C1的最短路線，
其長為，
，
∴，
故；
（Ⅲ）連接DB，C1B，則DB就是平面C1MB與平面ABC的交線，
在△DCB中，
，
∴，
又，
由三垂線定理得，
∴就是平面C1MB與平面ABC所成二面角的平面角
（銳角），
∵側(cè)面是正方形，
∴，
故平面C1MB與平面ABC所成的二面角（銳角）為45°。
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，若二面角C-AB-C1的大小為60°，則點(diǎn)C到平面C1AB的距離為（　�。�
A、
3
4
B、
1
2
C、
3
2
D、1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD與平面AA1CC1所成的角為a，則sina=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D、E、G分別是AB、BB1、AC1的中點(diǎn)，AB=BB1=2．
（Ⅰ）在棱B1C1上是否存在點(diǎn)F使GF∥DE？如果存在，試確定它的位置；如果不存在，請(qǐng)說明理由；
（Ⅱ）求截面DEG與底面ABC所成銳二面角的正切值；
（Ⅲ）求B1到截面DEG的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=4，AB=2，M是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AA1上，AN=
14
．
（Ⅰ）求BC1與側(cè)面ACC1A1所成角的大��；
（Ⅱ）求二面角C1-BM-C的正切值；
（Ⅲ）證明MN⊥BC1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•馬鞍山二模）如圖，在正三棱柱ABC一DEF中，AB=2，AD=1，P是CF的延長線上一點(diǎn)，過A、B、P三點(diǎn)的平面交FD于M，交EF于N．
（I）求證：MN∥平面CDE：
（II）當(dāng)平面PAB⊥平面CDE時(shí)，求三梭臺(tái)MNF-ABC的體積．

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