Question

已知命題p：?x∈R，cos2x+sinx+a≥0，命題q：?x∈R，ax²-2x+a＜0，命題p∨q為真，命題p∧q為假．求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：通過分離參數(shù)求函數(shù)的最大值化簡命題p；通過對二次項系數(shù)的討論求出a的范圍化簡命題q；
據(jù)復(fù)合命題的真假得出命題p，q的真假，求出a的范圍．

解答：解：由命題p得a≥-cos2x-sinx=2sin2x-sinx-1=2(sinx-

1

4

)2-

9

8

，
因為sinx∈[-1，1]，
所以當(dāng)sinx=-1時，（2sin²x-sinx-1）_max=2，
所以命題p：a≥2
由命題q得：當(dāng)a≤0時顯然成立；
當(dāng)a＞0時，需滿足△=4-4a²＞0，解得0＜a＜1
所以命題q：a＜1
因為命題p∨q為真，命題p∧q為假，所以命題p和q一真一假
若命題p真q假，則a≥2；若命題p假q真，則a＜1
綜上，實數(shù)a的取值范圍是（-∞，1）∪[2，+∞）

點評：本題考查通過分離參數(shù)求函數(shù)的最值求參數(shù)的范圍、解決二次函數(shù)注意對二次項系數(shù)的討論、復(fù)合命題的真假與構(gòu)成其簡單命題的真假關(guān)系．