Question

某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，甲產(chǎn)品的一等品率為80%，二等品率為20%；乙產(chǎn)品的一等品率為90%，二等品率為10%．生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤(rùn)4萬(wàn)元，若是二等品則虧損1萬(wàn)元；生產(chǎn)1件乙產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤(rùn)6萬(wàn)元，若是二等品則虧損2萬(wàn)元．設(shè)生產(chǎn)各種產(chǎn)品相互獨(dú)立．
（1）記X（單位：萬(wàn)元）為生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品和1件乙產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)，求X的分布列；
（2）求生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)不少于10萬(wàn)元的概率．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意做出變量的可能取值是10，5，2，-3，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件和相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，寫出變量的概率和分布列．
（2）設(shè)出生產(chǎn)的4件甲產(chǎn)品中一等品有n件，則二等品有4-n件，根據(jù)生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)不少于10萬(wàn)元，列出關(guān)于n的不等式，解不等式，根據(jù)這個(gè)數(shù)字屬于整數(shù)，得到結(jié)果，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)寫出概率．
解答：解：（1）由題設(shè)知，X的可能取值為10，5，2，-3，且
P（X=10）=0.8×0.9=0.72，P（X=5）=0.2×0.9=0.18，
P（X=2）=0.8×0.1=0.08，P（X=-3）=0.2×0.1=0.02．
∴X的分布列為：

（2）設(shè)生產(chǎn)的4件甲產(chǎn)品中一等品有n件，則二等品有4-n件．
由題設(shè)知4n-（4-n）≥10，
解得，
又n∈N，得n=3，或n=4．
所求概率為P=C₄³×0.8³×0.2+0.8⁴=0.8192
答：生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)不少于10萬(wàn)元的概率為0.8192．
點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，考查互斥事件的概率，是一個(gè)基礎(chǔ)題，這種題目可以作為高考題的解答題目出現(xiàn)．