Question

二次函數(shù)f（x），又的圖象與x軸有且僅有一個公共點，且f′（x）=1-2x．
（1）求f（x）的表達式．
（2）若直線y=kx把y=f（x）的圖象與x軸所圍成的圖形的面積二等分，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意設(shè)f（x）=ax²+bx+c，求出f′（x）后結(jié)合題意求出a、b，再代入化簡，由題意和二次函數(shù)的性質(zhì)令△=0求出c的值，代入解析式求出f（x）；
（2）先求出f（x）=x-x²圖象與x軸交點坐標，再畫出圖象，并求出y=kx和y=f（x）的圖象的交點的橫坐標，結(jié)合題意和定積分知識列出方程，求出k的值．
解答：解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，則f′（x）=2ax+b，
∵f′（x）=1-2x，∴a=-1，b=1，
∴=的圖象與x軸有且僅有一個公共點，
∴△=1+4（c-）=0，解得c=0，
則f（x）=x-x²…．
（2）由（1）得f（x）=x-x²圖象與x軸交點是（0，0）、（1，0），
如圖：直線y=kx和y=f（x）的圖象的交點為A，
由得，x=1-k，
∵直線y=kx把y=f（x）的圖象與x軸所圍成的圖形的面積二等分，
∴dx=，
即×（）=，
，解得，
故k的值是．
點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，以及定積分求不規(guī)則圖形的面積問題，關(guān)鍵是正確畫圖和確定積分的上界和下界，屬于中檔題．