Question

已知等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=2，公比q=3，S_n是它的前n項(xiàng)和．求證：

Sn+1

Sn

≤

3n+1

n

．

Answer 1

分析：利用等比數(shù)列的求和公式可得，S_n=3ⁿ-1，要證明

Sn+1

Sn

≤

3n+1

n

，等價(jià)于

3n+1-1

3n-1

≤

3n+1

n

即證3ⁿ≥2n+1（*）成立
（法一）用數(shù)學(xué)歸納法證明
先驗(yàn)證①當(dāng)n=1時(shí)，（*）式成立，②再假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)（*）成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立．
（法二）利用二項(xiàng)式定理，檢驗(yàn)當(dāng)n=1時(shí)（*）成立
當(dāng)n≥2時(shí)，3ⁿ=（1+2）ⁿ=C_n⁰+2C_n¹+2²C_n²+…+2ⁿC_nⁿ=1+2n+…＞1+2n
從而可得

Sn+1

Sn

≤

3n+1

n

解答：證明：由已知，得S_n=3ⁿ-1
要證明

Sn+1

Sn

≤

3n+1

n

等價(jià)于

3n+1-1

3n-1

≤

3n+1

n

即3ⁿ≥2n+1（*）
（方法一）用數(shù)學(xué)歸納法證明
①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=3，右邊=3，所以（*）式成立
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)（*）成立，即3^k≥2k+1
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，3^k+1=3×3^k≥3（2k+1）=6k+3≥2k+3=2（k+1）+1
所以當(dāng)n=k+1時(shí)（*）也成立
綜合①②可得，3ⁿ≥2n+1

Sn+1

Sn

≤

3n+1

n

（法二）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=4，右邊=4，所以（*）成立
當(dāng)n≥2時(shí)，3ⁿ=（1+2）ⁿ=C_n⁰+2C_n¹+2²C_n²+…+2ⁿC_nⁿ=1+2n+…＞1+2n

所以

Sn+1

Sn

≤

3n+1

n

點(diǎn)評：本題主要考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，不等式的證明，數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的應(yīng)用，二項(xiàng)式定理的運(yùn)用．