Question

已知函數(shù)f（x）=lnx．
（1）當x＞4時，求證：f(x)＜

x

＜

1

f(x+1)

；
（2）若不等式

f(x)

1+x

+f(1+

1

x

)≥a對x＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先證明：當x＞4時，有f(x)＜

x

，即lnx＜

x

．再證明：當x＞0時，有x＞ln（1+x）．由此能夠證明：當x＞4時，f(x)＜

x

＜

1

f(x+1)

．
（2）先證明：不等式

f(x)

1+x

+f(1+

1

x

)＞0對x＞0恒成立，再證明，當a＞0時，不等式

f(x)

1+x

+f(1+

1

x

)≥a對x＞0不恒成立．由此能夠求出不等式

f(x)

1+x

+f(1+

1

x

)≥a對x＞0恒成立時，實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）先證明：當x＞4時，有f(x)＜

x

，即lnx＜

x

，
令g（x）=

x

-lnx，則當x＞4時，有g′(x)=

1

2 x

-

1

x

=

x -2

2x

＞0，
∴g（x）在（4，+∞）上是增函數(shù)，
∵g（4）=2-ln4=2（1-ln2）＞0，
∴當x＞4時，g(x)=

x

-lnx＞g(4)＞0，
即lnx＜

x

，∴f(x)＜

x

．
再證明：當x＞0時，有x＞ln（1+x），
令h（x）=x-ln（1+x），則當x＞0時，有h′(x)=1-

1

1+x

=

x

1+x

＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∵h（0）=0，∴當x＞0時，h（x）＞h（0）=0，
即ln（1+x）＜x，∴當x＞4時，有l(wèi)n（1+

4

x

）＜

1

x

＜

1

x

，
∴

x

＜

1

ln(1+ 1 x )

，即

x

＜ 

1

f(1+ 1 x )

，
綜上所述，當x＞4時，f(x)＜

x

＜

1

f(x+1)

．
（2）先證明：不等式

f(x)

1+x

+f(1+

1

x

)＞0對x＞0恒成立，
因為

f(x)

1+x

+f(1+

1

x

)=

lnx

1+x

+ln(1+

1

x

)-lnx=

-xlnx

1+x

+ln(1+x)，
所以0＜x＜1，

f(x)

1+x

+f(1+

1

x

)＞0，
當x＞1時，

f(x)

1+x

+f(1+

1

x

)=

lnx

1+x

+ln(1+

1

x

)＞0，
綜上所述，當x＞0時，恒有

f(x)

1+x

+f(1+

1

x

)＞0，
故當a＜0時，不等式

f(x)

1+x

+f(1+

1

x

)≥a對x＞0恒成立，
下面證明，當a＞0時，不等式

f(x)

1+x

+f(1+

1

x

)≥a對x＞0不恒成立．
令a＞0，當x＞4時，由（1）知

f(x)

1+x

＜

x

1+x

＜

x

x

=

1

x

，
∴

f(x)

1+x

+f(1+

1

x

)＜

2

x

，
∴

2

x

＜a，即x＞

4

a2

．
取x＞max{4，

4

a2

}，
則總有

f(x)

1+x

+f(1+

1

x

)＜a，與已知矛盾．
故實數(shù)a的取值范圍是（-∞，0）．

點評：本題考查函數(shù)恒成立問題的應(yīng)用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．