Question

（2012•臺(tái)州一模）已知函數(shù)f（x）=（x²+ax+1）e^x，g（x）=2x³-3x²+a+2，其中a＜0．
（Ⅰ）若a=-1，求f（x）的極大值；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）的最小值不小于g（x）的最大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，f'（x）=[x²+（a+2）x+a+1]e^x=x（x+1）e^x，令f'（x）=0，解得x的值，分別解出f^′（x）＞0與f^′（x）＜0的x取值范圍得出單調(diào)區(qū)間，再利用極大值的判定定理即可得出；
（II）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則分別求出g^′（x）與f^′（x），利用單調(diào)性先求出g（x）的最大值，再通過(guò)對(duì)a分類討論求出f（x）的最小值，利用f（x）_min≥g（x）_max解出即可．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，f'（x）=[x²+（a+2）x+a+1]e^x=x（x+1）e^x，
令f'（x）=0，得x₁=-1，x₂=0，
當(dāng)x∈（-∞，-1）∪（0，+∞）f^′（x）＞0；x∈（-1，0）時(shí)，f^′（x）＜0．
可得f（x）在（-∞，-1），（0，+∞）上遞增，在（-1，0）上遞減，
所以f(x)極大值=f(-1)=

3

e

．
（Ⅱ）由g′（x）=6x²-6x=6x（x-1）＞0，得x＞1或x＜0．
可得g（x）在（-1，0）上遞增，在（0，1）上遞減，
所以g_max（x）=g（0）=a+2．              　
令f'（x）=0，得x₁=-1，x₂=-a-1．
①若-a-1≥1，即a≤-2時(shí)，f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，
所以f（x）_min=f（1）=（a+2）e，由（a+2）e≥a+2，得a=-2；
②∵a＜0，∴-a-1＞-1．
若-a-1＜1，即a＞-2時(shí)，f（x）在區(qū)間（-1，-a-1）上遞減，在區(qū)間（-a-1，1）上遞增，
所以f(x)min=f(-a-1)=(a+2) e-a-1，
由（a+2）e^-a-1≥（a+2），得a≤-1，所以-2＜a≤-1． 
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-2，-1]．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了分類討論的思想方法、推理能力和計(jì)算能力．