Question

已知a、b、c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊．
（Ⅰ）若如果a、b、c成等差數(shù)列，∠B=30°，△ABC的面積為

3

2

，求b．
（Ⅱ）若a=ccosB，且b=csinA，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的形狀判斷,正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）根據(jù)a、b、c成等差數(shù)列，可得2b=a+c，結(jié)合ABC的面積為

3

2

，利用余弦定理，即可求邊b的長(zhǎng)．
（Ⅱ）由三角形的三邊a，b及c，利用余弦定理表示出cosB，代入已知的a=ccosB，化簡(jiǎn)可得出a²+b²=c²，利用勾股定理的逆定理即可判斷出三角形為直角三角形，在直角三角形ABC中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出sinA，代入b=csinA，化簡(jiǎn)可得b=a，從而得到三角形ABC為等腰直角三角形．

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)閍、b、c成等差數(shù)列，
所以2b=a+c．                         …（2分）
由S_△ABC=

1

2

acsinB=

3

2

，得ac=6．       …（4分）
又由b²=a²+c²-2ac•cosB得b²=（a+c）²-2ac-2ac•cosB
所以b²=4b²-12-6

3

b²=4+2

3

所以b=

3

+1．…（8分）
（Ⅱ）由余弦定理得：a=c•

a2+c2-b2

2ac

⇒a²+b²=c²，
所以∠C=90°，
在Rt△ABC中，sinA=

a

c

，
所以b=c•

a

c

=a，
所以△ABC是等腰直角三角形；

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，考查了三角形的面積公式，余弦定理，正弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，考查了勾股定理的逆定理，考查計(jì)算能力．