Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，且3a_n+1+2S_n=3（n∈N^•）．
（I） 求a₂，a₃的值，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）若對任意正整數(shù)n，k≤S_n恒成立，求實數(shù)k的最大值．

Answer 1

分析：（I）利用a₁=1，且3a_n+1+2s_n=3（n∈N^•），令n=1、2，可求a₂，a₃的值，n≥2時，3a_n+2s_n-1=3與條件相減，可得數(shù)列{a_n}是首項為1，公比為

1

3

的等比數(shù)列，從而可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）求出等比數(shù)列的和，求出數(shù)列和的最小值，即可得到實數(shù)k的最大值．

解答：解：（I）∵a₁=1，且3a_n+1+2s_n=3（n∈N^•）
∴當n=1時，3a₂+2a₁=3，∴a2=

1

3

…（2分）
∴當n=2時，3a₃+2（a₁+a₂）=3，∴a3=

1

9

…（3分）
∵3a_n+1+2s_n=3①
∴當n≥2時，3a_n+2s_n-1=3  ②
由①-②，得3a_n+1-3a_n+2a_n=0…（5分）
∴

an+1

an

=

1

3

(n≥2)，
又∵a1=1，a2=

1

3

，…（7分）
∴數(shù)列{a_n}是首項為1，公比為

1

3

的等比數(shù)列．
∴an=a1qn-1=

1

3n-1

                        …（8分）
（II）由（I）知Sn=

3

2

[1-(

1

3

)n]…（9分）
由題意可知，對于任意的正整數(shù)n，恒有k≤

3

2

[1-(

1

3

)n]…（10分）
令f（n）=

3

2

[1-(

1

3

)n]，則函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，∴當n=1時，f（n）_min=1                     …（12分）
∴必有k≤1，即實數(shù)k的最大值為1．…（13分）

點評：本題考查數(shù)列的通項與求和，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是利用等比數(shù)列的定義，確定函數(shù)的單調(diào)性．