Question

已知函數(shù)（k∈R）．
（1）當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)（x）=m（x），且F（x）為R上的奇函數(shù)．求x＜0時(shí)，F(xiàn)（x）的表達(dá)式；
（2）若f（x）=m（x）+n（x）為偶函數(shù)，求k的值；
（3）對(duì)（2）中的函數(shù)f（x），設(shè)，若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵x＞0時(shí)，F(xiàn)（x）=m（x）=，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，
∴F（-x）=，又F（x）為R上的奇函數(shù)，
∴-F（x）=，即F（x）=-…（3分）
（2）∵函數(shù)f（x）=m（x）+n（x）=+kx為偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x）即-kx=+kx，…（5分）
而=-=-x，
∴-x-kx=kx恒成立，
∴2k+1=0，
∴k=-…（7分）
（3）∵函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∴方程-x=有且只有一個(gè)實(shí)根，…（8分）
化簡(jiǎn)得：方程2^x+=2^x-1-a有且只有一個(gè)實(shí)根，…（9分）
令t=2^x＞0，則方程t²+at+1=0有且只有一個(gè)正根，
①△=0?a=-，
②若一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，不滿足題意…（11分）
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a=-}…（12分）
分析：（1）利用x＞0時(shí)，F(xiàn)（x）=，F(xiàn)（x）為R上的奇函數(shù)，可求得x＜0時(shí)，F(xiàn)（x）的表達(dá)式；
（2）利用偶函數(shù)的定義f（-x）=f（x）即-kx=+kx，即可求得k的值；
（3）函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)?方程-x=有且只有一個(gè)實(shí)根?2^x+=2^x-1-a有且只有一個(gè)實(shí)根，令t=2^x＞0，則方程t²+at+1=0有且只有一個(gè)正根，利用△=0即可求得a的值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了偶函數(shù)的性質(zhì)，以及對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，同時(shí)考查了化歸與方程的思想的綜合運(yùn)用，屬于難題．