Question

（2013•海淀區(qū)二模）若數(shù)列{a_n}滿足：存在正整數(shù)T，對(duì)于任意正整數(shù)n都有a_n+T=a_n成立，則稱數(shù)列{a_n}為周期數(shù)列，周期為T．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=m（m＞0），a_n+1=

an-1，an＞1， 1 an ，0＜an≤1

則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（　　）

• A．若m=

  4

  5

  ，則a₅=3
• B．若a₃=2，則m可以取3個(gè)不同的值
• C．若m=

  2

  ，則數(shù)列{a_n}是周期為3的數(shù)列
• D．?m∈Q且m≥2，數(shù)列{a_n}是周期數(shù)列

Answer 1

分析：由給出的遞推式，把選項(xiàng)A、B、C中的m及a₃分別代入遞推式驗(yàn)證，可以判斷選項(xiàng)A、B、C正確，由排除法可以斷定不正確的選項(xiàng)是D．

解答：解：由a_n+1=

an-1，an＞1 1 an ，0＜an≤1

，且a1=m=

4

5

＜1，
所以，a2=

1

a1

=

1

4 5

=

5

4

＞1，a3=a2-1=

5

4

-1=

1

4

＜1，
a4=

1

a3

=

1

1 4

=4＞1，a₅=a₄-1=4-1=3．
故選項(xiàng)A正確；
由a₃=2，若a₃=a₂-1=2，則a₂=3，若a₁-1=3，則a₁=4．
若

1

a1

=3，則a1=

1

3

．
由a₃=2，若a3=

1

a2

=2，則a2=

1

2

，若a1-1=

1

2

，則a1=

3

2

．
若

1

a1

=

1

2

，則a₁=2，不合題意．
所以，a₃=2時(shí)，m即a₁的不同取值由3個(gè)．
故選項(xiàng)B正確；
若a1=m=

2

＞1，則a2=a1-1=

2

-1＜1，
a3=

1

a2

=

1

2 -1

=

2

+1＞1，
所以a4=a3-1=

2

+1-1=

2

．
故在m=

2

時(shí)，數(shù)列{a_n}是周期為3的周期數(shù)列，選項(xiàng)C正確；
選項(xiàng)A、B、C均正確，不正確的選項(xiàng)即可排除A、B、C，由選擇題的特點(diǎn)可知，不正確的選項(xiàng)是D．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了簡(jiǎn)單的合情推理，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，訓(xùn)練了學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題．