【題目】已知橢圓 的離心率為 ,四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的菱形的面積是4,圓M:(x+1)2+y2=r2(0<r<1).過(guò)橢圓C的上頂點(diǎn)A作圓M的兩條切線分別與橢圓C相交于B,D兩點(diǎn)(不同于點(diǎn)A),直線AB,AD的斜率分別為k1 , k2
(1)求橢圓C的方程;
(2)當(dāng)r變化時(shí),①求k1k2的值;②試問(wèn)直線BD是否過(guò)某個(gè)定點(diǎn)?若是,求出該定點(diǎn);若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】
(1)解:由題設(shè)知, , ,又a2﹣b2=c2,

解得a=2,b=1.

故所求橢圓C的方程是


(2)解:AB:y=k1x+1,則有 ,化簡(jiǎn)得 ,

對(duì)于直線AD:y=k2x+1,同理有 ,

于是k1,k2是方程(1﹣r2)k2﹣2k+1﹣r2=0的兩實(shí)根,故k1k2=1.

考慮到r→1時(shí),D是橢圓的下頂點(diǎn),B趨近于橢圓的上頂點(diǎn),故BD若過(guò)定點(diǎn),則猜想定點(diǎn)在y軸上.

,得 ,于是有

直線BD的斜率為

直線BD的方程為 ,

令x=0,得 ,

故直線BD過(guò)定點(diǎn)


【解析】(1)利用已知條件求出a,b即可求解橢圓C的方程.(2)AB:y=k1x+1,則有 ,化簡(jiǎn)得 ,直線AD:y=k2x+1,同理有 ,推出k1 , k2是方程(1﹣r2)k2﹣2k+1﹣r2=0的兩實(shí)根,故k1k2=1.考慮到r→1時(shí),D是橢圓的下頂點(diǎn),B趨近于橢圓的上頂點(diǎn),故BD若過(guò)定點(diǎn),則猜想定點(diǎn)在y軸上.聯(lián)立直線與橢圓方程,求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),求出直線BD的方程,推出直線BD過(guò)定點(diǎn).
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線 ,直線與拋物線交于 兩點(diǎn).

(1)若直線, 的斜率之積為,證明:直線過(guò)定點(diǎn);

(2)若線段的中點(diǎn)在曲線 上,求的最大值.

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【題目】北京某附屬中學(xué)為了改善學(xué)生的住宿條件,決定在學(xué)校附近修建學(xué)生宿舍,學(xué)?倓(wù)辦公室用1000萬(wàn)元從政府購(gòu)得一塊廉價(jià)土地,該土地可以建造每層1000平方米的樓房,樓房的每平方米建筑費(fèi)用與建筑高度有關(guān),樓房每升高一層,整層樓每平方米建筑費(fèi)用提高萬(wàn)元,已知建筑第5層樓房時(shí),每平方米建筑費(fèi)用為萬(wàn)元.

若學(xué)生宿舍建筑為x層樓時(shí),該樓房綜合費(fèi)用為y萬(wàn)元,綜合費(fèi)用是建筑費(fèi)用與購(gòu)地費(fèi)用之和,寫出的表達(dá)式;

為了使該樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最低,學(xué)校應(yīng)把樓層建成幾層?此時(shí)平均綜合費(fèi)用為每平方米多少萬(wàn)元?

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【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*),且滿足: ①|(zhì)a1|≠|(zhì)a2|;
②r(n﹣p)Sn+1=(n2+n)an+(n2﹣n﹣2)a1 , 其中r,p∈R,且r≠0.
(1)求p的值;
(2)數(shù)列{an}能否是等比數(shù)列?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)求證:當(dāng)r=2時(shí),數(shù)列{an}是等差數(shù)列.

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【題目】一個(gè)總體分為A,B兩層,其個(gè)體數(shù)之比為5:1,用分層抽樣方法從總體中抽取一個(gè)容量為12的樣本,已知B層中甲、乙都被抽到的概率為 ,則總體中的個(gè)數(shù)為

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A.(﹣ p,0)
B.(﹣2 p,0)
C.(﹣ ,0)
D.(﹣ ,0)

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A.
B.
C.
D.

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組號(hào)

分組

頻數(shù)

頻率

1

[160,165)

5

0.050

2

[165,170)

0.350

3

[170,175)

30

4

[175,180)

20

0.200

5

[180,185)

10

0.100

合計(jì)

100

1.00

(1)請(qǐng)先求出頻率分布表中①②位置的相應(yīng)數(shù)據(jù),再完成頻率分布直方圖,并從頻率分布直方圖中求出中位數(shù)(中位數(shù)保留整數(shù));

(2)為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生,高校決定在筆試成績(jī)高的第3、4、5組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試,從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生接受A考官進(jìn)行面試,求:第4組至少有一名學(xué)生被考官A面試的概率.

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