Question

函數(shù)f（x）=ln（1+2^x+a•4^x）的定義域為（-∞，1]，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：利用函數(shù)的定義域，得到真數(shù)大于0恒成立問題．然后利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解a．

解答：解：f（x）=ln（1+2^x+a•4^x）的定義域為（-∞，1]，則x≤1時函數(shù)
g（x）=1+2^x+a•4^x＞0恒成立，所以a＞-(

1

4

)x-(

1

2

)x；
函數(shù)y=-(

1

4

)x-(

1

2

)x=-[(

1

2

)x+

1

2

]2+

1

4

，設(shè)t=(

1

2

)x，則t≥

1

2

，此時函數(shù)y=-(t+

1

2

)2+

1

4

在t≥

1

2

，上單調(diào)遞減，
所以y≤-(

1

2

+

1

2

)2+

1

4

=-

3

4

，此時x=1．
所以a＞-

3

4

．
實數(shù)a的取值范圍(-

3

4

，+∞)．

點評：本題主要考查函數(shù)定義域的應(yīng)用以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，將定義域轉(zhuǎn)化為不等式恒成立是基本本題的關(guān)鍵．