Question

已知函數(shù)R，且

（I）若能表示成一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)的和，求的解析式；

（II）命題P：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；

命題Q：函數(shù)是減函數(shù)。

如果命題P、Q有且僅有一個是真命題，求a的取值范圍；

（III）在（II）的條件下，比較的大小。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）

【解析】

試題分析：

（1）將表示成奇函數(shù)和一個偶函數(shù)的和，分別求，所用知識僅為函數(shù)的奇偶性，但是函數(shù)將三個函數(shù)，的奇偶性綜合考察，出題者別具匠心，與以往單純考察單個函數(shù)的奇偶性有較大區(qū)別。（2）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，只需要二次函數(shù)對稱軸≤即可，為一次函數(shù)，單調(diào)性只和系數(shù)相關(guān)，解答滿足和的參數(shù)范圍，然后按照真、假和假、真求a的并集即可。（3）將帶入，看似與無關(guān)，但結(jié)合第二步結(jié)果，將a的值換成發(fā)現(xiàn)左右恰好相等，可以考慮右邊定值，左邊是函數(shù)在臨界情況下的結(jié)果，研究左邊表達(dá)式在情況下的值域問題就可解決。

解答過程：（1）

 

解得……………………………………………4分

（2）在區(qū)間上是增函數(shù)，

解得

又由函數(shù)是減函數(shù)，得

∴命題P為真的條件是：

命題Q為真的條件是：

又∵命題P、Q有且僅有一個是真命題，…………………………………8分

（2）由（1）得

設(shè)函數(shù)

∴函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)

又………………12分

考點：本題考查了函數(shù)奇偶性，含參二次函數(shù)和一次函數(shù)單調(diào)性，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性以及邏輯問題。

點評：本題綜合程度較高，考察內(nèi)容靈活多變，除了第二步為常規(guī)思路解答。第一和第三步都值得認(rèn)真去研究它的方法和解題思路，本題作為壓軸題計算量不是很大，重要還是從本題中體現(xiàn)的方法值得深究。