Question

已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F(xiàn)分別為棱BC，AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：DE∥平面PFB；
（Ⅱ）已知二面角P-BF-C的余弦值為

6

6

，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證DE∥平面PFB，只需證明DE平行平面PFB內(nèi)的直線FB，說明DE不在平面PFB內(nèi)，即可．
（Ⅱ）以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，DP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)PD=a，求出平面ABCD的一個(gè)法向量為

m

，平面PFB的一個(gè)法向量為

n

=（x，y，z），利用cos＜

m

，

n

＞，以及已知二面角P-BF-C的余弦值為

6

6

，求出a，然后求四棱錐P-ABCD的體積．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)镋，F(xiàn)分別為正方形ABCD的兩邊BC，AD的中點(diǎn)，
所以BE

∥ .

.

FD，所以，BEDF為平行四邊形，（2分）
得ED∥FB，（3分）
又因?yàn)镕B?平面PFB，且ED?平面PFB，（4分）
所以DE∥平面PFB．（5分）

（Ⅱ）如圖，以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，DP分
別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)PD=a，
可得如下點(diǎn)的坐標(biāo)：
P（0，0，a），F(xiàn)（1，0，0），B（2，2，0）
則有：

PF

=(1，0，-a)，

FB

=(1，2，0)，（6分）
因?yàn)镻D⊥底面ABCD，所以平面ABCD的
一個(gè)法向量為

m

=（0，0，1），（.7分）
設(shè)平面PFB的一個(gè)法向量為

n

=（x，y，z），
則可得

PF •n=0 FB •n=0

即

x-az=0 x+2y=0

令x=1，得z=

1

a

，y=-

1

2

，所以n=(1，-

1

2

，

1

a

)．（9分）
由已知，二面角P-BF-C的余弦值為

6

6

，
所以得：cos＜m，n＞=

m•n

|m||n|

=

1 a

5 4 + 1 a2

=

6

6

，（10分）
解得a=2．（11分）
因?yàn)镻D是四棱錐P-ABCD的高，
所以，其體積為VP-ABCD=

1

3

×2×4=

8

3

．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的判定，棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，二面角及其度量，考查計(jì)算能力，邏輯思維能力，空間想象能力，是中檔題．