如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,PD⊥底面ABCD,PD=DC,點E是PC的中點,點F在PB上,且EF⊥PB.
(1)求證:PB⊥平面DEF;
(2)求二面角C-PB-D的大。

方法一:(幾何法)
證明:(1)∵PD⊥底面ABCD,
∴PD⊥BC.又∵DE⊥PC,∴DE⊥平面PBC,
∴DE⊥PB.
又EF⊥PB,∴PB⊥平面DEF.…(6分)
(2)解:由(1)得PB⊥平面DEF,∴PB⊥FD.
又EF⊥PB,∠EFD就是二面角C-PB-D的平面角…(8分)
∵PD=DC=BC=2,∴PC=DB=
∵PD⊥DB,∴,

由(1)知DE⊥平面PBC,
∴DE⊥EF.
,∴∠EFD=60°
故所求二面角C-PB-D的大小為60°…(12分)
方法二:(向量法)
證明:(1)如圖,以點D為坐標(biāo)原點,DA、DC、DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,
則D(0,0,0)A(2,0,0),B(2,2,0),
C(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1)…(1分)
(2)
,∴
即PB⊥DE.
又∵EF⊥PB,DE∩EF=E,
∴PB⊥平面DEF.…(6分)
解:(2)設(shè)平面PBC的法向量為n1=(x,y,z),

令y=1,得n1=(0,1,1).
同理可得平面PBD的法向量為n2=(1,-1,0),

∵二面角C-PB-D小于90°,
∴二面角C-PB-D的大小為60°.…(12分)
分析:方法一(幾何法)(1)由已知PD⊥底面ABCD,結(jié)合PD=DC,點E是PC的中點,可得PD⊥BC,DE⊥PC,由線面垂直的判定定理可得DE⊥平面PBC,則DE⊥PB,結(jié)合已知中EF⊥PB和線面垂直的判定定理,我們可證得PB⊥平面DEF;
(2)由(1)中結(jié)論PB⊥平面DEF,可得PB⊥FD,結(jié)合EF⊥PB,及二面角的定義,可得∠EFD就是二面角C-PB-D的平面角,解Rt△EFD即可得到二面角C-PB-D的大小.
方法二(向量法)(1)以點D為坐標(biāo)原點,DA、DC、DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,分別求出PB,DE的方向向量,易根據(jù)其數(shù)量積為0得到PB⊥DE結(jié)合EF⊥PB及線面垂直的判定定理可得PB⊥平面DEF;
(2)分別求出平面PBC及平面PBD的法向量,代入向量夾角公式,即可求出二面角C-PB-D的大。
點評:本題考查的知識點是二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定,其中方法一的關(guān)鍵是熟練掌握線線垂直,線面垂直之間的轉(zhuǎn)化及二面角的定義,方法二的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系,將空間線線垂直及二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題.
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2
,∠PAB=60°.
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