Question

6．已知圓C的方程為x²+y²=4；
（1）設(shè)過點P（1，1）的直線1被圓C截得的弦長等于2$\sqrt{3}$，求直線1的方程；
（2）過點M（1，0）的直線與圓C交于A，B兩點（A在x軸上方），問在x軸正半軸上是否存在點N，使得x軸平分∠ANB？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由圓的方程求出圓心的坐標及半徑，由直線被圓截得的弦長，利用垂徑定理得到弦的一半，弦心距及圓的半徑構(gòu)成直角三角形，再根據(jù)勾股定理求出弦心距，一下分兩種情況考慮：若此弦所在直線方程的斜率不存在，顯然x=1滿足題意；若斜率存在，設(shè)出斜率為k，由直線過P點，由P的坐標及設(shè)出的k表示出直線的方程，利用點到直線的距離公式表示出圓心到所設(shè)直線的距離d，讓d等于求出的弦心距列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，進而得到所求直線的方程．
（2）MN平分∠ANB，k_AN=-k_NB，利用韋達定理，可得結(jié)論．

解答 解：（1）由圓的方程，得到圓心坐標為（0，0），半徑r=2，
∵直線被圓截得的弦長為2$\sqrt{3}$，
∴弦心距為1
若此弦所在的直線方程斜率不存在時，顯然x=1足題意；
若此弦所在的直線方程斜率存在，設(shè)斜率為k，
∴所求直線的方程為y-1=k（x-1）即kx-y-k+1=0
圓心到所設(shè)直線的距離d=$\frac{|-k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，得：k=0
此時所求方程為y-1=0
綜上，此弦所在直線的方程為x=1或y-1=0．
（2）直線斜率不存在時，x軸正半軸上任意一點都滿足；
斜率存在時，設(shè)方程為x=my+1，代入x²+y²=4可得（1+m²）y²+2my-3=0，
設(shè)N（t，0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=-$\frac{2m}{1+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{3}{1+{m}^{2}}$
∵MN平分∠ANB，
∴k_AN=-k_NB，
∴y₂（x₁-t）+y₁（x₂-t）=0，
∴y₂（my₁+2-t）+y₁（my₂+2-t）=0，
∴2my₁y₂+（2-t）（y₁+y₂）=0，
∴2m•（-$\frac{3}{1+{m}^{2}}$）+（2-t）×（-$\frac{2m}{1+{m}^{2}}$）=0，
∴2m（t-5）=0，
∴t=5，即N（5，0），MN平分∠ANB．

點評 此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，考查韋達定理的運用，考查學(xué)生的計算能力，涉及的知識有垂徑定理，勾股定理，點到直線的距離公式，以及直線的斜截式方程，利用了分類討論的思想，當(dāng)直線與圓相交時，常常由弦心距，弦的一半及圓的半徑構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．