Question

已知M（2cos²x，1），N （1，2

3

sinxcosx+a） （x，a∈R，a是常數(shù)），且y=

OM

•

ON

（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）
（Ⅰ）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f （ x ）；
（Ⅱ）若x∈[

π

6

，

π

2

]時(shí)，f （x）的最小值為2，求a的值，并說(shuō)明f （x）（x∈R）的圖象可由 y=2sin2x（x∈R）的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換而得到．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出

OM

與

ON

的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算

OM

•

ON

，就可得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f （ x ）．
（Ⅱ）因?yàn)閤∈[

π

6

，

π

2

]，所以

π

2

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，再根據(jù)基本正弦函數(shù)的最值，就可求出當(dāng)x∈[

π

6

，

π

2

]時(shí)，f （x）的最小值，又因?yàn)閒 （x）的最小值為2，可得a的值．再根據(jù)函數(shù)f（x）=2sin（2x+

π

6

）+3的解析式與y=2sin2x的
解析式之間的關(guān)系，就可判斷f （x）的圖象可由 y=2sin2x（x∈R）的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換而得到．

解答：解：（Ⅰ）∵M(jìn)（2cos²x，1），N （1，2

3

sinxcosx+a），
∴

OM

與

ON

的坐標(biāo)分別為（2cos²x，1）和（1，2

3

sinxcosx+a），
∴y=

OM

•

ON

=2cos² x+2

3

sinxcosx+a，
化簡(jiǎn)得f（x）=1+cos2x+

3

sin2x+a
（Ⅱ）f（x）=1+cos2x+

3

sin2x+a   化簡(jiǎn)得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a+1   
∵

π

6

≤x≤

π

2

，∴

π

2

≤2x+

π

6

≤

7π

6

當(dāng)x=

π

2

時(shí)f（x）取最小值a，故a=2，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）+3      
將y=2sin2x圖象的每一點(diǎn)的向左平移

π

12

個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，可得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+3的圖象．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，利用三角公式化簡(jiǎn)以及三角函數(shù)最值的計(jì)算，函數(shù)圖象的變換，屬于常規(guī)題．