Question

已知函數(shù)在（1,2）上是增函數(shù)，在（0,1）上是減函數(shù)。

求的值；

當(dāng)時，若在內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍;

求證：方程在內(nèi)有唯一解.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），

（Ⅱ）。（Ⅲ）方程=0在內(nèi)有唯一解。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）對任意的恒成立，因此。同理，由即對任意恒成立，因此。所以，

    。

（Ⅱ），時，為減函數(shù)，最小值為1.

令，則.

∵，,∴,∴在上為增函數(shù)，其最大值為

。

∴，得，故。

（Ⅲ）由得

設(shè),則，

令，由得，解得，

令得，則

，有最小值0，且當(dāng)時，，

∴方程=0在內(nèi)有唯一解。

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值、最值，方程的解。

點(diǎn)評：典型題，在給定區(qū)間，導(dǎo)數(shù)非負(fù)，函數(shù)為增函數(shù)，導(dǎo)數(shù)非正，函數(shù)為減函數(shù)。涉及“不等式恒成立”“方程的解”等問題，往往通過構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題，利用導(dǎo)數(shù)加以解決。