Question

已知f（x）=（x-1）²，g（x）=4（x-1），f（a_n）和g（a_n）滿足：a₁=2，且（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0．
（1）是否存在常數(shù)C，使得數(shù)列{a_n+C}為等比數(shù)列？若存在，證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（2）設(shè)b_n=3f（a_n）-[g（a_n+1）]²，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

解：（1）由題意知：4（a_n+1-a_n）（a_n-1）+（a_n-1）²=0
∴（a_n-1）（4a_n+1-3a_n-1）=0 …（2分）
∵a₁=2，∴a_n-1≠0，即4a_n+1=3a_n+1 …（4分）
假設(shè)存在常數(shù)C，使{a_n+C}為等比數(shù)列，
則：為常數(shù)
∴c=-1，故存在常數(shù)c=-1，使{a_n-1}為等比數(shù)列…（6分）
（2）∵a₁=2，∴，
∴…（8分）
從而…（10分）
∴…（12分）
分析：（1）先根據(jù) 已知條件（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0整理得到（a_n-1）（4a_n+1-3a_n-1）=0；再結(jié)合a₁=2，得到4a_n+1=3a_n+1；最后通過假設(shè)存在常數(shù)C，使{a_n+C}為等比數(shù)列，得到相鄰兩項(xiàng)的比值為常數(shù)求出常數(shù)c=-1；
（2）先根據(jù)第一問的 結(jié)果求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)，再代入求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，最后根據(jù)等比數(shù)列的求和公式 即可得到結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的求和公式的應(yīng)用．再應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式時(shí)，一定要先判斷公比是否等于1，避免出錯(cuò)．