Question

（本小題滿分12分）

如圖3，已知直二面角，，，，，，直線和平面所成的角為．

（I）證明；

（II）求二面角的大小．

 

 

Answer 1

【答案】

（I）

（II）二面角的大小為

【解析】解：（I）在平面內(nèi)過點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051810592021872135/SYS201205181100123281268200_DA.files/image009.png">，，所以，

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051810592021872135/SYS201205181100123281268200_DA.files/image012.png">，所以．

而，所以，，從而，又，

所以平面．因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051810592021872135/SYS201205181100123281268200_DA.files/image020.png">平面，故．

（II）解法一：由（I）知，，又，，，所以．

過點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)，由三垂線定理知，．

故是二面角的平面角．

由（I）知，，所以是和平面所成的角，則，

不妨設(shè)，則，．

在中，，所以，

于是在中，．

故二面角的大小為．

解法二：由（I）知，，，，故可以為原點(diǎn)，分別以直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）．

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051810592021872135/SYS201205181100123281268200_DA.files/image049.png">，所以是和平面所成的角，則．

不妨設(shè)，則，．

在中，，

所以．

則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是

，，，．

所以，．

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，由得

取，得．

易知是平面的一個(gè)法向量．

設(shè)二面角的平面角為，由圖可知，．

所以．

故二面角的大小為．