Question

【題目】某鎮(zhèn)在政府“精準扶貧”的政策指引下，充分利用自身資源，大力發(fā)展養(yǎng)殖業(yè)，以增加收入，政府計劃共投入72萬元，全部用于甲、乙兩個合作社，每個合作社至少要投入15萬元，其中甲合作社養(yǎng)魚，乙合作社養(yǎng)雞，在對市場進行調(diào)研分析發(fā)現(xiàn)養(yǎng)魚的收益M、養(yǎng)雞的收益N與投入a（單位：萬元）滿足，N＝a+20．設(shè)甲合作社的投入為x（單位：萬元），兩個合作社的總收益為f（x）（單位：萬元）．

（1）當甲合作社的投入為25萬元時，求兩個合作社的總收益；

（2）試問如何安排甲、乙兩個合作社的投入，才能使總收益最大，最大總收益為多少萬元？

Answer 1

【答案】（1）88.5萬元

（2）該公司在甲合作社投入16萬元，在乙合作社投入56萬元，總收益最大，最大總收益為89萬元

【解析】

根據(jù)題意，當甲合作社投入為25萬元時，乙合作社投入為47萬元，分別代入其收益與投入的函數(shù)式，最后求和即可。

首先確定函數(shù)定義域，然后結(jié)合分段函數(shù)的解析式分類討論確定最大收益的安排方法即可得出答案。

解：（1）當甲合作社投入為25萬元時，乙合作社投入為47萬元，此時兩個個合作社的總收益為：

＝88.5（萬元）；

（2）甲合作社的投入為x萬元（15≤x≤57），則乙合作社的投入為72﹣x萬元，

當15≤x≤36時，則36≤72﹣x≤57，

f（x）＝4+25+（72﹣x）+20＝﹣x+4+81．

令t＝，得≤t≤6，

則總收益為g（t）＝﹣t2+4t+81＝﹣（t﹣4）2+89，

顯然當t＝4時，函數(shù)取得最大值g（t）＝89＝f（16），

即此時甲投入16萬元，乙投入56萬元時，總收益最大，最大收益為89萬元

當36＜x≤57時，則15＜72﹣x≤36，

則f（x）＝49+（72﹣x）+20＝﹣x+105，

則f（x）在（36，57]上單調(diào)遞減，

∴f（x）＜f（36）＝87．

即此時甲、乙總收益小于87萬元．

又89＞87，

∴該公司在甲合作社投入16萬元，在乙合作社投入56萬元，總收益最大，最大總收益為89萬元．