Question

已知函數(shù) ，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng) a=1時(shí)，求函數(shù) f（x）的最小值；
（Ⅱ）當(dāng)a＜0時(shí)，討論函數(shù) f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)a，對(duì)任意的 x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有恒成立，若存在求出a的取值范圍，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
由，
當(dāng)a=1時(shí)，，
．
∴當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x∈（2，+∞），f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
∴f（x）在x=2時(shí)取得最小值，其最小值為f（2）=-2ln2．
（Ⅱ）∵，
∴（1）當(dāng)-2＜a＜0時(shí)，若x∈（0，-a），f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
若x∈（-a，2），f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
若x∈（2，+∞），f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
（2）當(dāng)a=-2時(shí)，在（0，+∞）上f^′（x）≥0，f（x）為增函數(shù)；
（3）當(dāng)a＜-2時(shí)，若x∈（0，2），f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
若x∈（2，-a），f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；
若x∈（-a，+∞），f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
（Ⅲ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a使得對(duì)任意的 x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有恒成立，
不妨設(shè)0＜x₁＜x₂，只要，即：f（x₂）-ax₂＞f（x₁）-ax₁．
令g（x）=f（x）-ax，只要 g（x）在（0，+∞）為增函數(shù)即可．
又函數(shù)．
考查函數(shù)
要使g'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，只要-1-2a≥0，即a，
故存在實(shí)數(shù)a，對(duì)任意的 x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，
有恒成立．
分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=1代入函數(shù)解析式，求導(dǎo)后解出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)定義域分段，判出在各區(qū)間段內(nèi)的單調(diào)性，從而的導(dǎo)函數(shù)的最小值；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)a的不同取值對(duì)函數(shù)定義域分段，由函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷原函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的單調(diào)性；
（Ⅲ）在假設(shè)存在實(shí)數(shù)a使得對(duì)任意的 x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有恒成立的前提下，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為（x₂）-ax₂＞f（x₁）-ax₁恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-ax，利用導(dǎo)函數(shù)求出使函數(shù)g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)的a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了導(dǎo)數(shù)在最大值最小值中的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了利用構(gòu)造函數(shù)法求參數(shù)的取值范圍，屬難題．