已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，滿足：①圖象過原點；②f（1-x）=f（1+x）；③g（x）=f（x）-x2是奇函數(shù)．解答下列各題：
（1）求c；
（2）證明：b=-2a；　
（3）求f（x）的解析式．

（1）解：∵二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c圖象過原點，
∴f（0）=c=0，
故c=0．
（2）證明：∵c=0，∴f（x）=ax2+bx，
∵f（1-x）=f（1+x），
∴a（1-x）2+b（1-x）=a（1+x）2+b（1+x），
即a-2ax+ax2+b-bx=a+2ax+ax2+b+bx，
整理，得-4ax=2bx，
∴b=-2a．
（3）解：∵g（x）=f（x）-x2=ax2+bx-x2=（a-1）x2+bx是奇函數(shù)，
∴a-1=0，即a=1，
∴b=-2a=-2，
∴f（x）=x2-2x．
分析：（1）由二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c圖象過原點，知f（0）=c=0，由此能求出c．
（2）由c=0，知f（x）=ax2+bx，由f（1-x）=f（1+x），得-4ax=2bx，由此能夠證明b=-2a．
（3）由g（x）=f（x）-x2=ax2+bx-x2=（a-1）x2+bx是奇函數(shù)，知a=1，故b=-2a=-2，由此能求出f（x）．
點評：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，且滿足f（2）=0，求實數(shù)m的值．
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1），且與x軸有唯一的交點（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數(shù)的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2-16x+q+3．
（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點，求實數(shù)q的取值范圍；
（2）若記區(qū)間[a，b]的長度為b-a．問：是否存在常數(shù)t（t≥0），當(dāng)x∈[t，10]時，f（x）的值域為區(qū)間D，且D的長度為12-t？請對你所得的結(jié)論給出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+m+1，關(guān)于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數(shù)．設(shè)g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時，函數(shù)φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點，并求出極值點；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸的兩交點為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數(shù)f（x）的圖象的頂點是（-1，2），且經(jīng)過原點，求f（x）的解析式．

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