Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形周長(zhǎng)等于8，
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過點(diǎn)（0，-2）的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)出橢圓方程標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)離心率可求得a和c的關(guān)系，根據(jù)橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形周長(zhǎng)等于8，求得a，則c可求得，進(jìn)而根據(jù)b²=a²-c²求得b，則橢圓方程可得．
（Ⅱ）先看當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，顯然以A，B為直徑的圓不過橢圓C的右頂點(diǎn)，故直線l與x軸不垂直；設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)判別式求得k的范圍，設(shè)出A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)直線方程求得y₁y₂的表達(dá)式，以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)D（2，0），進(jìn)而可知直線AD和BD的斜率之積為-1，進(jìn)而用A，B的坐標(biāo)分別表示出這兩直線的斜率，建立等式求得k，最后驗(yàn)證求得結(jié)果．
解答：解：（Ⅰ）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
由題意得：
∴a=2，c=1，b²=a²-c²=3
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（Ⅱ）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，A，B分別為橢圓短軸的兩端點(diǎn)，
顯然以A，B為直徑的圓不過橢圓C的右頂點(diǎn)，故直線l與x軸不垂直
設(shè)直線l的方程為y=kx-2
則由得（3+4k²）x²-16kx+4=0
由△＞0得或
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=
∴
因?yàn)橐訟B為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)D（2，0），
∴K_ADK_BD=-1，即
∴y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0
∴，即k²-8k+7=0，
解得k₁=1，k₂=7
當(dāng)k=1時(shí)，直線l過橢圓右頂點(diǎn)（2，0），不合題意，
所以k=7，故直線l的方程是y=7x-2．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線的綜合問題是支撐圓錐曲線知識(shí)體系的重點(diǎn)內(nèi)容，問題的解決具有入口寬、方法靈活多樣等，而不同的解題途徑其運(yùn)算量繁簡(jiǎn)差別很大，故此類問題能有效地考查考生分析問題、解決問題的能力，