Question

已知A（-1，0），B（1，0），動(dòng)點(diǎn)M滿足|MA|+|MB|=4，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C
（1）求曲線C的方程；
（2）若點(diǎn)P在曲線C上，且滿足

PA

•

PB

=t，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由A（-1，0），B（1，0），動(dòng)點(diǎn)M滿足|MA|+|MB|=4＞2，可得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，且a=2，c=1，即可求曲線C的方程；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），由

PA

•

PB

=t，推出x₀²+y₀²=t+1．點(diǎn)P在曲線C上，

x02

4

+

y02

3

=1，得y₀²=t+1-x₀²，然后求出0≤x₀²≤4，解出2≤t≤3．得到實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：（1）∵A（-1，0），B（1，0），動(dòng)點(diǎn)M滿足|MA|+|MB|=4＞2，
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，且a=2，c=1，
∴b=

3

，
∴曲線C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），由

PA

•

PB

=t，得
（-1-x₀．-y₀）•（1-x₀，-y₀）=t，
即x₀²+y₀²=t+1，
∴y₀²=t+1-x₀²，
∵點(diǎn)P在曲線C上，
∴

x02

4

+

y02

3

=1，
∴x₀²=4（t-2）．                                  
∵0≤x₀²≤4，
∴2≤t≤3．
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍為[2，3]．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查橢圓的概念、橢圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想與方法，以及運(yùn)算求解能力．