Question

將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折疊，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且AE=

2

．
（Ⅰ）求證：DE⊥AC；
（Ⅱ）求DE與平面BEC所成角的正弦值；
（Ⅲ）直線BE上是否存在一點M，使得CM∥平面ADE，若存在，求點M的位置，不存在請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）借助空間向量來證 DE⊥AC，只需在空間直角坐標系下，證明

DE

•

AC

=0 即可．以A為坐標原點AB，AD，AE所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，再寫出定點E，A，B，D的坐標，求出C點坐標，向量

DE

，

AC

坐標，再計算（Ⅱ）

DE

•

AC

，看是否為0．
（Ⅱ）DE與平面BEC所成角，也即DE與平面BCE的法向量所成角的余角，設平面BCE的法向量為

n

=（x，y，z） 則
根據(jù)法向量與平面內(nèi)任意向量垂直，即可求出平面BCE的法向量坐標，再求平面BCE的法向量與DE所成角，最后求出該角的余角即可．
（III）先假設直線BE上存在一點M，使得CM∥平面ADE，向量

CM

垂直于平面ADE的法向量，再利用垂直時數(shù)量積為0來計算．如能計算出參數(shù)λ的值，則存在，否則，不存在．

解答：解：（Ⅰ）以A為坐標原點AB，AD，AE所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系
則E（0，0，

2

），B（2，0，0）D（0，2，0），
做BD的中點F并連接CF，AF；由題意可得CF⊥BD且AF=CF=

2

又∵平面BDA⊥平面BDC，∴CF⊥平面BDA，
所以C的坐標為C（1，1，

2

）
∴

DE

=（0，-2，

2

），

AC

=（1，1，

2

）
∴

DE

•

AC

=（0，-2，

2

）•（1，1，

2

）=0
故DE⊥AC                                                     　　　  
（Ⅱ）設平面BCE的法向量為

n

=（x，y，z） 則

n • EB =0 N • CB =0

，即

2x- 2 z=0 x-y- 2 z=0

∴

z= 2 y=-x

令x=1得

n

=（1，-1，

2

）    又

DE

=（0，-2，

2

）                        　　 
設平面DE與平面BCE所成角為θ，則
sinθ=|cos＜

n

，

DE

＞|=

| n • DE |

| n| | DE|

=

6

3

（III）假設存在點M使得CM∥面ADE，則

EM

=λ

EB

EB

=（2，0，-

2

），∴

EM

=（2λ，0，-

2

λ）  得M（2λ，0，

2

-

2

λ）     　
又因為AE⊥平面ABD，AB⊥AD  所以AB⊥平面ADE
因為CM∥面ADE，則

CM

⊥

AB

 即

CM

•

AB

=0
得2λ-1=0∴λ=

1

2

故點M為BE的中點時CM∥面ADE．

點評：夲題考查了用空間向量求證線線垂直，線面平行，以及線面角，屬于常規(guī)題，需掌握．