已知橢圓E的方程是
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），其左頂點(diǎn)為（-2，0），離心率e=
1
2
．
（1）求橢圓E的方程；
（2）已知傾斜角為45°且過(guò)右焦點(diǎn)的直線(xiàn)l交橢圓E于A、B兩點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)P，使
OP
=λ（
OA
+
OB
），試求λ的值．
（1）由已知得a=2，e=
c
a
=
1
2
，∴c=1，b=
a2-c2
=
3
，
∴橢圓E的方程為
x2
4
+
y2
3
=1．
（2）由（1）得右焦點(diǎn)F（1，0），因此直線(xiàn)l的方程為y=x-1．
代入橢圓方程并整理得7x2-8x-8=0．
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=
8
7
，
∴y1+y2=（x1-1）+（x2-1）=（x1+x2）-2=-
6
7
．
∴
OP
=λ（
OA
+
OB
）=λ（x1+x2，y1+y2）=λ（
8
7
，-
6
7
），
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（
8λ
7
，-
6λ
7
），
代入橢圓方程，可得
(
8λ
7
)2
4
+
(-
6λ
7
)2
3
=1，
∴λ2=
7
4
，解得λ=±
7
2
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知橢圓E的方程為：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)P（1，
3
2
）在橢圓E上．
（I）求橢圓E的方程；
（II）過(guò)橢圓E的頂點(diǎn)A作兩條互相垂直的直線(xiàn)分別與橢圓E交于（不同于點(diǎn)A的）兩點(diǎn)M，N．
問(wèn)：直線(xiàn)MN是否一定經(jīng)過(guò)x軸上一定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，不是，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2008•深圳一模）已知橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，離心率為
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)A（0，1）和直線(xiàn)l：y=x+m，線(xiàn)段AB是橢圓E的一條弦且直線(xiàn)l垂直平分弦AB，求實(shí)數(shù)m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓E的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且橢圓過(guò)點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），C（1，
32
）三點(diǎn)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若點(diǎn)D為橢圓E上不同于A，B的任意一點(diǎn)，F(xiàn)（-1，0），H（1，0），當(dāng)△DFH內(nèi)切圓的面積最大時(shí)，求內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)；
（3）若直線(xiàn)l：y=k（x+4），（k≠0）與橢圓E交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P，試問(wèn)直線(xiàn)PN能否過(guò)定點(diǎn)F（-1，0），若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013-2014學(xué)年安徽省宿州市高三上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓E的中心是原點(diǎn)O，其右焦點(diǎn)為F(2，0)，過(guò)x軸上一點(diǎn)A(3,0)作直線(xiàn)與橢圓E相交于P,Q兩點(diǎn),且的最大值為.

(Ⅰ)求橢圓E的方程;

(Ⅱ)設(shè),過(guò)點(diǎn)P且平行于y軸的直線(xiàn)與橢圓E相交于另一點(diǎn)M,試問(wèn)M,F,Q是否共線(xiàn)，若共線(xiàn)請(qǐng)證明；反之說(shuō)明理由.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010-2011學(xué)年安徽省皖南八校高三第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓E的方程為：+=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)P（1，）在橢圓E上．
（I）求橢圓E的方程；
（II）過(guò)橢圓E的頂點(diǎn)A作兩條互相垂直的直線(xiàn)分別與橢圓E交于（不同于點(diǎn)A的）兩點(diǎn)M，N．
問(wèn)：直線(xiàn)MN是否一定經(jīng)過(guò)x軸上一定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，不是，說(shuō)明理由．

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