Question

如圖，棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面AB₁BA₁⊥平面ABC，AB=AA₁，AB⊥BC．
（1）證明：平面A₁BC⊥平面AB₁BA₁；
（2）試在直線BC上找一點(diǎn)P，使得A₁C∥平面AB₁P．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，由平面AB₁BA₁⊥平面ABC，可以證出BC⊥平面AB₁BA₁．從而B(niǎo)C垂直于平面AB₁BA₁內(nèi)的直線AB₁．再根據(jù)四邊形AB₁BA₁為菱形，得到AB₁⊥A₁B．結(jié)合直線與平面垂直的判定定理，可得AB₁⊥平面A₁BC，而AB₁?平面AB₁BA₁，根據(jù)面面垂直的判定定理，得到平面AB₁BA₁⊥平面A₁BC．
（2）設(shè)AB₁∩A₁B=Q，若A₁C∥平面AB₁P，則根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，經(jīng)過(guò)A₁C的平面A₁BC與平面AB₁P相交于PQ，必有PQ∥A₁C，再在△A₁BC中利用平行線的性質(zhì)，結(jié)合Q是A₁B的中點(diǎn)，得到P是BC的中點(diǎn)．然后再用線面平行的判定定理，不難證出P為BC中點(diǎn)時(shí)，A₁C∥平面AB₁P．

解答：證明：（1）∵平面AB₁BA₁⊥平面ABC，
平面AB₁BA₁∩平面ABC=BC，且AB⊥BC，BC?平面ABC，
∴BC⊥平面AB₁BA₁．
∵AB₁?平面AB₁BA₁，
∴AB₁⊥BC．
∵四邊形AB₁BA₁中，AB=AA₁，
∴四邊形AB₁BA₁為菱形，
∴AB₁⊥A₁B．
∵A₁B∩BC=B，A₁B、BC?平面A₁BC
∴AB₁⊥平面A₁BC，
而AB₁?平面AB₁BA₁，
∴平面AB₁BA₁⊥平面A₁BC．
（2）當(dāng)點(diǎn)P在BC上，且P為BC中點(diǎn)時(shí)，A₁C∥平面AB₁P．
證明如下：設(shè)AB₁∩A₁B=Q．
∵在△A₁BC中，Q為A₁B的中點(diǎn)，P為BC中點(diǎn)．
∴A₁C∥PQ．
∵A₁C?平面A₁BC，PQ?平面A₁BC，
∴A₁C∥平面AB₁P，
即所求的點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題給出一個(gè)特殊的棱柱，在一個(gè)側(cè)面與底面垂直時(shí)，通過(guò)線面垂直證明平面與平面垂直，并且找出圖中的線面平行．著重考查了直線與平面平行的判定、直線與平面垂直的判定等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．