Question

如圖所示，PA為⊙0的切線，A為切點(diǎn)，PBC是過點(diǎn)O的割線，PA=10，PB=5．
（Ⅰ）求證：

AB

AC

=

PA

PC

；
（Ⅱ）求AC的值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定,相似三角形的性質(zhì)

專題：綜合題,立體幾何

分析：（Ⅰ）PA為⊙O的切線，可得∠ACP=∠PAB，由∠P=∠P，可得△PAB∽△PCA，即可證明結(jié)論；
（Ⅱ）證明∠ACB=90°，可求AC的值．

解答： （Ⅰ）證明：∵PA為⊙O的切線，∴∠ACP=∠PAB，
又由∠P=∠P，∴△PAB∽△PCA，
∴

AB

AC

=

PA

PC

．…（4分）
（Ⅱ）解：∵PA為⊙0的切線，A為切點(diǎn)，PBC是過點(diǎn)O的割線，
∴PA²=PB•PC．
又∵PA=10，PB=5，
∴PC=20，BC=5…（7分）
由（Ⅰ）知，

AB

AC

=

PA

PC

=

1

2

，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∴AC=

BC2-AB2

=6

5

 …（10分）

點(diǎn)評：本題考查了切割線定理，考查三角形相似的判斷與性質(zhì)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用切割線定理列方程求解．