動(dòng)點(diǎn)C到點(diǎn)A(-1,0)的距離是它到點(diǎn)B(1,0)的距離的
2
倍.
(1)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程;
(2)已知直線l經(jīng)過點(diǎn)D(0,1)且與動(dòng)點(diǎn)C的軌跡相切,求直線l的方程.
分析:(1)設(shè)C的坐標(biāo)為(x,y),根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式化簡(jiǎn)等式|CA|=
2
|CB|,即可得到動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程;
(2)由(1)得到C的軌跡是以M(3,0)為圓心、半徑r=2
2
的圓.設(shè)所求直線l方程為y=kx+1,根據(jù)直線與圓相切利用點(diǎn)到直線的距離公式列式,解出k值即可得到所求滿足條件的直線l的方程.
解答:解:(1)設(shè)C(x,y),可得|CA|=
(x+1)2+y2
,|CB|=
(x-1)2+y2

∵C到點(diǎn)A(-1,0)的距離是它到點(diǎn)B(1,0),
∴|CA|=
2
|CB|,可得
(x+1)2+y2
=
2
(x-1)2+y2
,
化簡(jiǎn)整理,得(x-3)2+y2=8,即為動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程;
(2)由(1)可得動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以M(3,0)為圓心、半徑r=2
2
的圓.
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)D(0,1)的直線l為y=kx+1,即kx-y+1=0
∵直線l與動(dòng)點(diǎn)C的軌跡相切,即直線l與圓M相切,
∴點(diǎn)M到直線l的距離等于半徑,即
|3k+1|
k2+1
=2
2
,解之得k=1或-7.
由此可得直線l的方程為y=x+1或y=-7x+1.
點(diǎn)評(píng):本題給出動(dòng)點(diǎn)滿足的條件,求它的軌跡方程并依此求曲線的切線方程.著重考查了兩點(diǎn)的距離公式、直線的方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí),屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A(-1,0)和B(1,0)的距離分別為d1和d2,∠APB=2θ,且存在常數(shù)λ(0<λ<1),使得d1d2sin2θ=λ.
(1)證明:動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C為雙曲線,并求出C的方程;
(2)過點(diǎn)B作直線雙曲線C的右支于M,N兩點(diǎn),試確定λ的范圍,使
OM
ON
=0
,其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

給出下列3個(gè)命題:
①在平面內(nèi),若動(dòng)點(diǎn)M到F1(-1,0)、F2(1,0)兩點(diǎn)的距離之和等于2,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是橢圓;
②在平面內(nèi),給出點(diǎn)F1(-5,0)、F2(5,0),若動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|-|PF2|=8,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線;
③在平面內(nèi),若動(dòng)點(diǎn)Q到點(diǎn)A(1,0)和到直線2x-y-2=0的距離相等,則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是拋物線.
其中正確的命題有( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知?jiǎng)狱c(diǎn)C到點(diǎn)A(-1,0)的距離是它到點(diǎn)B(1,0)的距離的倍.

(1)試求點(diǎn)C的軌跡方程;

(2)已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(0,1)且與點(diǎn)C的軌跡相切,試求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2007年江西省高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)A(-1,0)和B(1,0)的距離分別為d1和d2,∠APB=2θ,且存在常數(shù)λ(0<λ<1),使得d1d2sin2θ=λ.
(1)證明:動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C為雙曲線,并求出C的方程;
(2)過點(diǎn)B作直線雙曲線C的右支于M,N兩點(diǎn),試確定λ的范圍,使,其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn).

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