Question

已知不等式：

3-x

x2+1

＞1的解集為A．
（1）求解集A；
（2）若a∈R，解關于x的不等式：ax²+1＜（a+1）x；
（3）求實數a的取值范圍，使關于x的不等式：ax²+1＜（a+1）x的解集C滿足C∩A=∅．

Answer 1

分析：（1）去分母化簡得x²+x-2＜0，解一元二次不等式得-2＜x＜1，從而可求集合A．
（2）ax²+1＜（a+1）x等價于ax²-（a+1）x+1＜0，即（ax-1）（x-1）＜0，由于不等式的解集與方程的解及開口方向有關，故需要進行分類討論；
（3）若C∩A=∅，則對a分類討論，得出集合C，利用C∩A=∅，可求．

解答：解：（1）去分母化簡得x²+x-2＜0，∴-2＜x＜1，∴A=（-2，1）
（2）ax²+1＜（a+1）x等價于ax²-（a+1）x+1＜0，即（ax-1）（x-1）＜0
1）當a＞0時，ax²-（a+1）x+1＜0等價于a(x-

1

a

)(x-1)＜0，即(x-

1

a

)(x-1)＜0，
所以：①當a＞1時，

1

a

＜x＜1；  ②當a=1時，x∈∅；  ③當0＜a＜1時，1＜x＜

1

a

；
2）當a=0時，x＞1
3）當a＜0時，x＞1或x＜

1

a

（3）若C∩A=∅，則：
①當a＞1時，C=(

1

a

，1)，不可能成立；
②當a=1時，x∈∅，成立；
③當0＜a＜1時，1＜x＜

1

a

，成立；
2）當a=0時，x＞1，成立；
3）當a＜0時，C=(-∞，

1

a

)∪(1，+∞)，須有

1

a

≤-2，則-

1

2

≤a＜0．
綜上：a∈[-

1

2

，1]

點評：本題以集合為載體，考查不等式，考查集合的運算，注意分類討論是關鍵．