Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)A，B.
（Ⅰ）求橢圓的方程;
（Ⅱ）求m的取值范圍；
（Ⅲ）若直線不過(guò)點(diǎn)M，求證：直線MA、MB與x軸圍成一個(gè)等腰三角形

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）參考解析

試題分析：（Ⅰ）已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求出橢圓的方程.
（Ⅱ）由于直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)A，B.所以直線與橢圓方程聯(lián)立消去y后，得到關(guān)于x的一元二次方程，這個(gè)方程的的判別式要大于零即可求出m的范圍.
（Ⅲ）直線不過(guò)點(diǎn)M，要求證直線MA、MB與x軸圍成一個(gè)等腰三角形.將該問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線MA與直線MB的斜率何為零.所以通過(guò)計(jì)算兩直線的斜率，并用A,B的坐標(biāo)表示，通過(guò)通分整理再結(jié)合（Ⅱ）所得的韋達(dá)定理即可得分子為零.及證明了斜率和為零從而可結(jié)論.
試題解析：(Ⅰ)設(shè)橢圓的方程為，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824031744190551.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824031744034602.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，解得，故橢圓方程為 
(Ⅱ)將代入并整理得，，解得 
（Ⅲ）設(shè)直線的斜率分別為和，只要證明.設(shè)，，
則。