Question

已知f(x)=

x2+2|x|

x+2

，g(x)=

x+2

，H（x）=f（x）•g（x）．
（1）畫出函數(shù)y=H（x-1）+2的圖象；
（2）試討論方程H（x-1）+2=m根的個數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)表達式，得出函數(shù)f（x）的定義域是（-2，+∞），將H（x）化成分段函數(shù)的形式．從而得出函數(shù)y=H（x-1）+2的分段表達式，進而可以作出它的圖象；
（2）根據(jù)圖象可以得到，當(dāng)m=2或m≥10時，直線y=m與函數(shù)y=H（x-1）+2圖象有且僅有一個公共點；當(dāng)2＜m＜10時，直線y=m與函數(shù)y=H（x-1）+2圖象有兩個公共點；當(dāng)m＜2時，直線y=m與函數(shù)y=H（x-1）+2圖象沒有公共點．由此則不難得出方程根的個數(shù)了．

解答：解：（1）H（x）的定義域為{x|x＞-2}
H(x)=x2+2|x|=

x2+2x(x≥0) x2-2x(-2＜x＜0)

y=H（x-1）+2=(x-1)2+2|x-1|+2=

x2+1(x≥1) x2-4x+5(-1＜x＜1)

圖象如下：

（2）在同一坐標(biāo)系里作出直線y=m，觀察它與函數(shù)y=H（x）圖象的交點的個數(shù)，可得
①當(dāng)m=2或m≥10時，直線y=m與函數(shù)y=H（x-1）+2圖象有且僅有一個公共點；②當(dāng)2＜m＜10時，直線y=m與函數(shù)y=H（x-1）+2圖象有兩個公共點；③當(dāng)m＜2時，直線y=m與函數(shù)y=H（x-1）+2圖象沒有一個公共點
由此可得：當(dāng)m∈{2}∪[10，+∞）時，方程H（x-1）+2=m有且僅有一個實數(shù)根；
當(dāng)m∈[2，10）時，方程H（x-1）+2=m有且僅有兩個實數(shù)根；
當(dāng)m∈（-∞，2）時，方程H（x-1）+2=m有0個實數(shù)根．

點評：本題考查了函數(shù)的圖象與根的分布等等知識點，屬于中檔題．利用圖象觀察，得到方程根的個數(shù)，是數(shù)學(xué)常用的思想方法，也是這類問題的常用解法．