Question

已知f(x)=

x2+2|x|

x+2

，g(x)=

x+2

，H（x）=f（x）•g（x）．
（1）畫出函數(shù)y=H（x-1）+2的圖象；
（2）試討論方程H（x-1）+2=m根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)表達(dá)式，得出函數(shù)f（x）的定義域是（-2，+∞），將H（x）化成分段函數(shù)的形式．從而得出函數(shù)y=H（x-1）+2的分段表達(dá)式，進(jìn)而可以作出它的圖象；
（2）根據(jù)圖象可以得到，當(dāng)m=2或m≥10時(shí)，直線y=m與函數(shù)y=H（x-1）+2圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)2＜m＜10時(shí)，直線y=m與函數(shù)y=H（x-1）+2圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)m＜2時(shí)，直線y=m與函數(shù)y=H（x-1）+2圖象沒有公共點(diǎn)．由此則不難得出方程根的個(gè)數(shù)了．

解答：解：（1）H（x）的定義域?yàn)閧x|x＞-2}
H(x)=x2+2|x|=

x2+2x(x≥0) x2-2x(-2＜x＜0)

y=H（x-1）+2=(x-1)2+2|x-1|+2=

x2+1(x≥1) x2-4x+5(-1＜x＜1)

圖象如下：

（2）在同一坐標(biāo)系里作出直線y=m，觀察它與函數(shù)y=H（x）圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，可得
①當(dāng)m=2或m≥10時(shí)，直線y=m與函數(shù)y=H（x-1）+2圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)；②當(dāng)2＜m＜10時(shí)，直線y=m與函數(shù)y=H（x-1）+2圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)；③當(dāng)m＜2時(shí)，直線y=m與函數(shù)y=H（x-1）+2圖象沒有一個(gè)公共點(diǎn)
由此可得：當(dāng)m∈{2}∪[10，+∞）時(shí)，方程H（x-1）+2=m有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)m∈[2，10）時(shí)，方程H（x-1）+2=m有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)m∈（-∞，2）時(shí)，方程H（x-1）+2=m有0個(gè)實(shí)數(shù)根．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的圖象與根的分布等等知識點(diǎn)，屬于中檔題．利用圖象觀察，得到方程根的個(gè)數(shù)，是數(shù)學(xué)常用的思想方法，也是這類問題的常用解法．