Question

已知函數(shù)（a，b，c∈N），且f（2）=2，f（3）＜3，
且f（x）的圖象按向量平移后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
（1）求a、b、c的值；
（2）設(shè)0＜|x|＜1，0＜|t|≤1，求證不等式|t+x|-|t-x|＜|f（tx+1）|；
（3）已知x＞0，n∈N^*，求證不等式[f（x+1）]ⁿ-f（xⁿ+1）≥2ⁿ-2．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）的圖象按向量平移后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可以求出c的值；根據(jù)f（2）=2，f（3）＜3，
可以求出a、b的值；
（2）利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，證明左邊大于等于2，右邊小于2即可；
（3），再借助于二項(xiàng)式的系數(shù)的性質(zhì)可證．
解答：解：（1）將f（x）的圖象按向量平移后得到的解析式為
若關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則當(dāng)x=0時(shí)有意義，必有g(shù)（0）=0…（2分）
而g（0）≠0，所以c=0，且b≠0
∵，∴，
∵，∴
∴，
又b∈N，b≠0，所以b=1，a=1∴…（4分）
（2）
∵tx與同號(hào)，所以…（6分）
而|t+x|-|t-x|≤|t+x-（t-x）|=2|x|＜2
∴|t+x|-|t-x|＜|f（tx+1）|…（8分）
（3）…（9分）
令，（x＞0）
則，…..①…..②
①②相加得
=…（12分）
≥2（C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1）=2（2ⁿ-2）
∴g（x）≥2ⁿ-2，即[f（x+1）]ⁿ-f（xⁿ+1）≥2ⁿ-2，當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)解析式的求解，考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，綜合性強(qiáng)．