Question

10．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD四正方形，PA⊥底面ABCD，垂足為點(diǎn)A，PA=AB=4，點(diǎn)M，N分別是PD，PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PB∥平面ACM；
（Ⅱ）求證：MN⊥平面PAC；
（Ⅲ）求四面體A-BMC的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明PB∥平面ACM，利用線面平行的判定定理，只需證明線線平行，利用三角形的中位線可得MO∥PB；
（Ⅱ）證明MN⊥平面PAC，由于MN∥BD，只要證明BD⊥平面PAC，利用線面垂直的判定定理，即可證得；
（Ⅲ）利用等體積法，即V_A-BMC=V_M-ABC求解．

解答 （Ⅰ）證明：連接AC，BD，AM，MC，MO，MN，且AC∩BD=O．
∵點(diǎn)O，M分別是PD，BD的中點(diǎn)，
∴MO∥PB．
∵PB?平面ACM，MO?平面ACM，
∴PB∥平面ACM；
（Ⅱ）證明：∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，
在△PBD中，點(diǎn)M，N分別是PD，PB的中點(diǎn)，∴MN∥BD．
∴MN⊥平面PAC；
（Ⅲ）∵PA=AB=AD=4，V_A-MBC=V_M-ABC=$\frac{1}{3}$•S_△ABC•h，h=$\frac{1}{2}$PA．
∴V_A-BMC=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$•AB•AD•$\frac{1}{2}$•PA=$\frac{16}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行、線面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．