Question

已知集合M是滿足下面性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：在定義域內(nèi)，方程f（x+1）=f（x）+f（1）有實(shí)數(shù)解．
（1）函數(shù)f(x)=

1

x

是否屬于集合M？說(shuō)明理由；
（2）設(shè)函數(shù)f(x)=lg

t

x2+1

∈M，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）在定義域內(nèi)，由f(x)=

1

x

，f（x+1）=f（x）+f（1），知

1

x+1

=

1

x

+1⇒x2+x+1=0，由此能推導(dǎo)出f(x)=

1

x

∉M．
（2）由函數(shù)f(x)=lg

t

x2+1

∈M，知lg

t

(x+1)2+1

=lg

t

x2+1

+lg

t

2

，所以（t-2）x²+2tx+2（t-1）=0有實(shí)數(shù)解，由此能求出t的范圍．

解答：解：（1）在定義域內(nèi)，
∵f(x)=

1

x

，f（x+1）=f（x）+f（1）
∴

1

x+1

=

1

x

+1⇒x2+x+1=0，
∵方程x²+x+1=0無(wú)實(shí)數(shù)解，
∴f(x)=

1

x

∉M．（6分）
（2）∵函數(shù)f(x)=lg

t

x2+1

∈M，
∴l(xiāng)g

t

(x+1)2+1

=lg

t

x2+1

+lg

t

2

，
∴（t-2）x²+2tx+2（t-1）=0有實(shí)數(shù)解，
t=2時(shí)，x=-

1

2

；
t≠2時(shí)，由△=4t²-4（t-2）×2（t-1）≥0，
得t2-6t+4≤0⇒t∈[3-

5

，2)∪(2，3+

5

]．
∴t∈[3-

5

，3+

5

]．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，是中檔題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意對(duì)數(shù)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．