【題目】如圖,已知四棱臺(tái)上、下底面分別是邊長為3和6的正方形,,且
底面,點(diǎn),分別在棱,上.
(1)若是是的中點(diǎn),證明:;
(2若//平面,二面角的余弦值為,求四面體的體積
【答案】由題意得, A A 1 , A B , A D 兩兩垂直,以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn), A B , A D , A A 1 所在直線分別為 x 軸 y 軸 z 軸,建立如圖下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為 A ( 0 , 0 , 0 ) , B 1 ( 3 , 0 , 6 ) , D ( 0 , 6 , 0 ) , D 1 ( 0 , 3 , 6 ) , Q ( 6 , m , 0 ) , 其中 m = B Q , 0 ≤ m ≤ 6 .
(1)若是的中點(diǎn),則于是所以.即
(2)由題意設(shè)知,是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量.設(shè)是平面的一個(gè)法向量,則即,取得,又平面的一個(gè)法向量所以
而二面角P-QD-A的余弦值為 , 因此=解得.m=4或者m=8(舍去)此時(shí)Q(6,4,0)設(shè)而=(0,-3,6)由此得點(diǎn)P因?yàn)镻Q//平面ABB1A1且平面ABB1A1的一個(gè)法向量=(0,1,0)所以,·=0即,亦即得從而P(0,4,4,)于是將四面體ADPQ視為以ADQ為底面的三棱錐P-ADQ 則其高h(yuǎn)=4故四面體ADPQ的體積
【解析】由題意得,兩兩垂直,以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為軸軸軸,建立如圖下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為其中.
(1)若是的中點(diǎn),則于是所以.即
(2)由題意設(shè)知,是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量.設(shè)是平面的一個(gè)法向量,則即,取得,又平面的一個(gè)法向量所以
而二面角P-QD-A的余弦值為,因此=解得.m=4或者m=8(舍去)此時(shí)Q(6,4,0)設(shè)而=(0,-3,6)由此得點(diǎn)P因?yàn)镻Q//平面ABB1A1且平面ABB1A1的一個(gè)法向量=(0,1,0)所以,·=0即,亦即得從而P(0,4,4,)于是將四面體ADPQ視為以ADQ為底面的三棱錐P-ADQ 則其高h(yuǎn)=4故四面體ADPQ的體積
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用向量的三角形法則和平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,掌握三角形加法法則的特點(diǎn):首尾相連;三角形減法法則的特點(diǎn):共起點(diǎn),連終點(diǎn),方向指向被減向量;坐標(biāo)運(yùn)算:設(shè),則;;設(shè),則即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知D= ,給出下列四個(gè)命題:
P1:(x,y)∈D,x+y+1≥0;
P2:(x,y)∈D,2x﹣y+2≤0;
P3:(x,y)∈D, ≤﹣4;
P4:(x,y)∈D,x2+y2≤2.
其中真命題的是( )
A.P1 , P2
B.P2 , P3
C.P2 , P4
D.P3 , P4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖O是等腰三角形ABC內(nèi)一點(diǎn),圓O與△ABC的底邊BC交于M,N兩點(diǎn),與底邊上的高交于點(diǎn)G,且與AB,AC分別相切于E,F兩點(diǎn).
(1)(I)證明EF//BC
(2)(II)若AG等于圓O半徑,且AE=MN=2,求四邊形EBCF的面積
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2015·新課標(biāo)I卷)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.已知an>0,an2+2an=4Sn+3,
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工件的三視圖如圖所示,現(xiàn)將該工件通過切割,加工成一個(gè)體積盡可能大的長方體新工件,并使新工件的一個(gè)面落在原工件的一個(gè)面內(nèi),則原工件材料的利用率為(材料利用率=)
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2015·四川)在三棱住ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,其正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方形,俯視圖是直角邊長為1的等腰直角三角形,設(shè)點(diǎn)M , N , P分別是AB , BC , B1C1的中點(diǎn),則三棱錐P-A1MN的體積是 。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2015·四川)已知函數(shù)f(x)=-2(x+a)lnx+x2-2ax-2a2+a,其中a>0.
(1)設(shè)g(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),討論g(x)的單調(diào)性;
(2)證明:存在a(0,1),使得f(x)≥0,在區(qū)間(1,+)內(nèi)恒成立,且f(x)=0在(1,+)內(nèi)有唯一解.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和記為Sn.如果a4=-12,a8=-4.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求Sn的最小值及其相應(yīng)的n的值;
(3)從數(shù)列{an}中依次取出a1,a2,a4,a8,…,,…,構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列{bn},求{bn}的前n項(xiàng)和
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)
(1)若在處取得極值,確定的值,并求此時(shí)曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)若在[)上為減函數(shù),求的取值范圍。
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