Question

如圖，三棱錐V-ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，AB=4，AD=BD，VA=VB=

13

，BC=

29

，VC=4．
（1）求證：CD⊥AB；
（2）求證：VC⊥平面ABV．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由VO⊥平面ABC，得到VO⊥AB，連接VD，只要證明AB⊥平面VCD即可；
（2）由（1）可得VC⊥AB，再由計算證明VC⊥VD，利用線面垂直的判定定理證明．

解答： 證明：（1）∵VO⊥平面ABC，∴VO⊥AB，連接VD，∵AD=BD，VA=VB，∴AB⊥VD，∴AB⊥平面VCD，∴AB⊥CD；
（2）∵AB=4，AD=BD=2，VA=VB=

13

，BC=

29

，VC=4．AB⊥CD，∴CD=

BC2-BD2

=5，VD=

VA2-AD2

=3，
∴VD²+VC²=CD²，∴VC⊥VD，
由（1）知VC⊥AB，由AB∩VD=D，
∴VC⊥平面ABV．

點評：本題考查了三棱錐中線線垂直和線面垂直的判定定理的運用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．