點A、B分別是以雙曲線的焦點為頂點,頂點為焦點的橢圓C長軸的左、右端點,點F是橢圓的右焦點,點P在橢圓C上,且位于x軸上方,
(I)求橢圓C的方程;
(II)求點P的坐標(biāo);
(III)設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點,點M到直線AP的距離等于|MB|,求橢圓上的點到M的距離d的最小值.
【答案】分析:(I)求出雙曲線的焦點、頂點,得出橢圓的a,c,b即可求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.
(Ⅱ)點P的坐標(biāo)為(x,y),由已知得解方程組可得點P的坐標(biāo)
(Ⅲ)設(shè)點M是(m,0)于是,解出m=2,建立橢圓上的點到M的距離d的表達(dá)式,用函數(shù)知識求最值
解答:解(I)已知雙曲線實半軸a1=4,虛半軸b1=2,半焦距c1=,
∴橢圓的長半軸a2=c1=6,橢圓的半焦距c2=a1=4,橢圓的短半軸b2=,
∴所求的橢圓方程為
(II)由已知A(-6,0),F(xiàn)(4,0),
設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y),則,由已知得
則2x2+9x-18=0,解之得,
由于y>0,所以只能取,于是,所以點P的坐標(biāo)為(9分)
(Ⅲ)直線,設(shè)點M是(m,0),則點M到直線AP的距離是,于是
又∵點M在橢圓的長軸上,即-6≤m≤6∴m=2
∴當(dāng)m=2時,橢圓上的點到M(2,0)的距離
又-6≤x≤6∴當(dāng)時,d取最小值
點評:本題考查圓錐曲線的幾何性質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)方程、距離求解.考查函數(shù)知識、方程思想、計算能力.
練習(xí)冊系列答案
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(1)求橢圓C的的方程;

(2)求點P的坐標(biāo);

(3)設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點,點M到直線AP的距離等于|MB|,求橢圓上的點到M的距離d的最小值。

 

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(I)求橢圓C的方程;
(II)求點P的坐標(biāo);
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