已知函數(shù)f(x)=alnx+x2(a為實(shí)常數(shù)).

   (1)若,求證:函數(shù)f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù);

   (2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)f(x)在[1,e]上的最小值及相應(yīng)的x值;

   (3)若存在x∈[1,e],使得f(x)≤(a+2)x成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍

 

【答案】

（1）見(jiàn)解析；（2）當(dāng)時(shí),的最小值為1,相應(yīng)的x值為1；（3）.

【解析】（1）直接對(duì)f(x)求導(dǎo)，說(shuō)明當(dāng)x>1時(shí)，導(dǎo)數(shù)大于零即可.

(2)利用導(dǎo)數(shù)求極值最值，最值不在區(qū)間端點(diǎn)出取得，就在極值處取得，因而比較極值及端點(diǎn)值即可確定最值.

（3）由于x>0，所以此不等式可轉(zhuǎn)化為.然后構(gòu)造函數(shù)求它的最小值即可，要注意恒成立問(wèn)題與存在性問(wèn)題的區(qū)別.

解：(1)當(dāng)時(shí),,當(dāng),,

故函數(shù)在上是增函數(shù);------------（3分)

(2),當(dāng),,

當(dāng)時(shí),在上非負(fù)(僅當(dāng),x=1時(shí),),

故函數(shù)在上是增函數(shù),此時(shí).

∴當(dāng)時(shí),的最小值為1,相應(yīng)的x值為1-------（7分）

(3)不等式,可化為.

∵, ∴且等號(hào)不能同時(shí)取,所以,即,

因而(),-----------------------（10分）

令(),又,----12分

當(dāng)時(shí),,,

從而(僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)),所以在上為增函數(shù),

故的最小值為,所以a的取值范圍是.（14分）

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1
．
（1）求證：不論a為何實(shí)數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時(shí)，求f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直線(xiàn)坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）求函數(shù)f（t）-9的零點(diǎn)；
（3）設(shè)q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函數(shù)q（t）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）為奇函數(shù)，則a=（　　）
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若直線(xiàn)x-y-1=0是曲線(xiàn)y=f（x）的切線(xiàn)，求實(shí)數(shù)a的值；
（III）設(shè)g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調(diào)性的情況，并證明你的結(jié)論．

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