Question

4．（1）設(shè)$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$為兩個不共線的向量，$\overrightarrow{a}$=-$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow$=4$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{c}$=-3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+12$\overrightarrow{{e}_{2}}$，試用$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$為基底表示向量$\overrightarrow{a}$；
（2）已知向量$\overrightarrow{m}$=（3，2），$\overrightarrow{n}$=（-1，2），$\overrightarrow{p}$=（4，1），當k為何值時，（$\overrightarrow{m}$+k$\overrightarrow{p}$）∥（2$\overrightarrow{n}$-$\overrightarrow{m}$）？平行時它們是同向還是反向？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的共線定理即可求出，
（2）根向量的坐標運算和向量的平行即可求出

解答 解：（1）設(shè)$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow$+μ$\overrightarrow{c}$，
∴-$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$=λ（4$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$）+μ（-3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+12$\overrightarrow{{e}_{2}}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4λ-3μ=-1}\\{2λ+12μ=3}\end{array}\right.$，
解得λ=-$\frac{1}{18}$，μ=$\frac{7}{27}$，
∴$\overrightarrow{a}$=-$\frac{1}{18}$$\overrightarrow$+$\frac{7}{27}$$\overrightarrow{c}$，
（2）∵向量$\overrightarrow{m}$=（3，2），$\overrightarrow{n}$=（-1，2），$\overrightarrow{p}$=（4，1），
∴$\overrightarrow{m}$+k$\overrightarrow{p}$=（3，2）+k（4，1）=（3+4k，2+k）
2$\overrightarrow{n}$-$\overrightarrow{m}$=2（-1，2）-（3，2）=（-5，2）
∵（$\overrightarrow{m}$+k$\overrightarrow{p}$）∥（2$\overrightarrow{n}$-$\overrightarrow{m}$），
∴2（3+4k）=-5（2+k），
解得k=-$\frac{16}{13}$，
此時$\overrightarrow{m}$+k$\overrightarrow{p}$=（-$\frac{25}{13}$，$\frac{10}{13}$）=$\frac{5}{13}$（-5，2）=$\frac{5}{13}$（2$\overrightarrow{n}$-$\overrightarrow{m}$），
故$\overrightarrow{m}$+k$\overrightarrow{p}$，2$\overrightarrow{n}$-$\overrightarrow{m}$同向．

點評 本題考查了向量的坐標運算以及向量的共線定理，屬于中檔題．