Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A′B′CD′中，AP=BQ=b（0＜b＜1），截面PQEF∥A′D，截面PQGH∥AD′.

（Ⅰ）證明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直;

（Ⅱ）證明：截面PQEF和截面PQGH面積之和是定值，并求出這個值;

（Ⅲ）若，求D′E與平面PQEF所成角的正弦值．

Answer 1

解法一：

（Ⅰ）證明：在正方形中，又由已知可得

 

  所以 PH⊥PF, PH⊥PQ,

  所以 PH⊥平面PQEF，

  所以平面PQEF和平面PQGH垂直

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知

 ,又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面積之和是

,是定值。

（Ⅲ）解：連結(jié)交PE于點N，連接EN，

 因為交交PE于點N，連接EN，

 所以為與平面PQEF所成的角。

 因為，所以，P、Q、E、F分別為,的中點，

可知.

所以

解法二：

以D為原點，射線DA,DC,DD’分別為x,y,z軸的正半軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系D-xyz

由已知得DF-1-b，故A(1,0,0),A`(1,0,1),D(0,0,0), D`(0,0,1),P(1,0,b)，Q（1，1，b），E（1-b,0,0）,F(1-b.0,0),G(b,1,1),H(b,0,1)

(1)    證明：在所建立的坐標(biāo)系中，可得

因為所以是平面PQEF的法向量。

因為所以是平面PQGH的法向量。

因為所以,

所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直。                    

（Ⅱ）證明：因為，所以,又,所以PQEF為矩形，同理PQGH為矩形。

在所建立的坐標(biāo)系中可求得

所以又

所以截面PQEF和截面PQGH面積之和為，是定值。

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知是平面PQEF的法向量。

 由P為AA`中點可知，Q、E、F分別為BB`,BC,AD的中點，

所以,因此D`E與平面PQEF所成角的正弦值等于

,